Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc
Trong năm học 2016-2017, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh dành cho khối lớp 12, môn Toán. Đề thi này bao gồm 6 câu hỏi tự luận, yêu cầu các thí sinh vận dụng kiến thức toán học một cách sâu rộng và linh hoạt để giải quyết các tình huống phức tạp.
Các câu hỏi trong đề thi được thiết kế nhằm kiểm tra năng lực tư duy logic, phân tích và giải quyết vấn đề của học sinh. Chúng bao quát các lĩnh vực như đại số, hình học, giải tích, xác suất thống kê và một số chủ đề nâng cao khác. Mỗi câu hỏi đòi hỏi học sinh phải thể hiện sự hiểu biết sâu sắc về khái niệm, nguyên lý và phương pháp giải toán, cũng như khả năng tư duy sáng tạo và linh hoạt.
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm học 2016-2017 của Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc đã trở thành một thước đo quan trọng để đánh giá năng lực toán học xuất sắc của học sinh, đồng thời góp phần khuyến khích và phát triển tài năng trong lĩnh vực này.
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc
Câu 1 (2.0 điểm).
a) Cho hàm số $y=\frac{2-2 x}{x+1}$ có đồ thị là $(H)$. Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của $(H)$ và $M$ là một điểm bất kì trên $(H)$. Tiếp tuyến với $(H)$ tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của $(H)$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh rằng tam giác $I E F$ có diện tích không đổi.
b) Cho hàm số $y=\frac{x^3}{3}-2 x^2+x+1$ có đồ thị là $(C)$. Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị $(C)$, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
Câu 2 (2.0 điểm).
a) Cho $\log _5 6=a, \log _6 12=b$. Tính $\log _{25} 24$ theo $a$ và $b$.
b) Cho hàm số $f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}$. Tính tổng: $S=f\left(\frac{1}{2017}\right)+f\left(\frac{2}{2017}\right)+\cdots+f\left(\frac{2016}{2017}\right)$.
Câu 4 (2.0 điểm). Cho tứ diện $A B C D$ có $\overparen{B A C}=\widehat{C A D}=\widehat{D A B}=60^{\circ}, A B=8(\mathrm{~cm}), A C=9(\mathrm{~cm})$, $A D=10(\mathrm{~cm})$. Gọi $A_1, B_1, C_1, D_1$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $B C D, A C D, A B D, A B C$.
a) Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(A C D)$.
b) Tính thể tích khối tứ diện $A_1 B_1 C_1 D_1$.
Câu 5 (1.0 điểm). Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $B, A B=8, B C=6$. Biết $S A=6$ và $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$. Tìm bán kính mặt cầu có tâm thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp $S \cdot A B C$.
