Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hà Nam
Với mong muốn tạo điều kiện tốt nhất cho các em học sinh lớp 12 thể hiện năng lực và phát triển tài năng Toán học, đội ngũ hdgmvietnam.org xin trân trọng giới thiệu đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 và thành lập đội tuyển tham gia kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo UBND tỉnh Hà Nam tổ chức.
Đây là cơ hội quý báu để các em học sinh lớp 12 yêu thích và có năng khiếu về Toán học được khẳng định bản thân, cọ xát và học hỏi kinh nghiệm từ các bạn đồng trang lứa trên khắp cả nước. Chúng tôi hy vọng rằng các thầy, cô giáo sẽ động viên và hỗ trợ các em tham gia cuộc thi này, giúp các em phát huy tối đa tiềm năng và đam mê của mình.
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hà Nam
Câu I (5 điểm). Cho các số thực dương $a, b$. Xét các dãy số $\left(a_n\right),\left(b_n\right)$ thỏa mãn $a_0=a, b_0=b$ và $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2022 a_n+b_n}, b_{n+1}=\frac{1}{2023} a_{n+1} b_n \quad \forall n \geq 0$.
1. Chứng minh rằng tồn tại $n_0 \in \mathbb{N}$ sao cho $a_{n 0}>2023$.
2. Chứng minh rằng dãy số $\left(a_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.
Câu II (5 điểm). Cho tam giác $A B C$ có $A B<A C$ và đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$ tiếp xúc với các cạnh $B C, C A, A B$ lần lượt tại $D, E, F$. Phân giác trong của góc $\widehat{B A C}$ cắt các đường thẳng $D E, D F$ lần lượt tại $X, Y$. Gọi $S, T$ là các điểm nằm trên cạnh $B C$ sao cho $\widehat{X S Y}=\widehat{X T Y}=90^{\circ}$.
1. Chứng minh rằng $B X, C Y$ là các tiếp tuyến của đường tròn đường kính $X Y$.
2. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $A S T$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$.
Câu III (5 điểm). Xét các số $a, b, c$ nguyên, $c \geq 0$ thỏa mãn $a^n+2^n$ là ước của $b^n+c$ với mọi $n$ nguyên dương.
1. Chứng minh rằng $c=0$ hoặc $c=1$.
2. Khi $c=1_2$ chứng minh rằng $a$ và $b$, không đồng thời là các số chính phương.
