Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Quảng Trị
Trong một ngày đầu tháng 11 năm 2021, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Trị đã tổ chức một sự kiện quan trọng – kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 và đội tuyển dự thi Quốc gia môn Toán cho năm học 2021 – 2022. Đây là một cơ hội lớn để các tài năng trẻ trong tỉnh được thể hiện năng lực và khả năng của mình trong lĩnh vực Toán học.
Kỳ thi này gồm hai vòng thi, mỗi vòng thi đều bao gồm bốn câu hỏi tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Thời gian làm bài cho mỗi vòng thi là 180 phút, tương đương với ba giờ đồng hồ, đủ để các học sinh thể hiện hết khả năng của mình.
Với sự chuẩn bị kỹ lưỡng và quyết tâm cao độ, các thí sinh đã sẵn sàng bước vào cuộc chiến trí tuệ này. Kỳ thi không chỉ là một thử thách về kiến thức mà còn là một cơ hội để các em khẳng định bản lĩnh và tinh thần không ngừng học hỏi, phấn đấu của mình.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Quảng Trị
Câu 1. (5,0 điểm) Giải hệ phương trình
$$
\left\{\begin{aligned}
& x^3-y^3=\frac{7}{2} \\
& \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2 x+2}}=\frac{y+1}{\sqrt{y^2+2 y+2}} .
\end{aligned}\right.
$$
Câu 2. (5,0 điểm) Cho tam giác $A B C$ không cân nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $B C, C A, A B$ lần lượt tại $D, E, F$. Đường thẳng $E F$ cắt đường tròn $(O)$ tại $P, Q$ và cắt đường thẳng $B C$ tại $N$.
a) Chứng minh rằng $N B \cdot D C=N C \cdot D B$.
b) Gọi $M$ là trung điểm của $B C$. Chứng minh bốn điểm $D, M, P, Q$ cùng nằm trên một đường tròn và tâm của đường tròn này là trung điểm của đoạn thẳng nối $I$ với điểm chính giữa cung $B C$ chứa $A$ của đường tròn $(O)$.
Câu 3. (5,0 điểm) Với mỗi $n$ nguyên dương, kí hiệu $s_n$ là số tập con của tập $\{1,2, \ldots, n\}$ mà không chứa hai số tự nhiên nào cách nhau 2 đơn vị.
a) Tính các giá trị $s_1, s_2, s_3$ và $s_4$.
b) Chứng minh rằng $s_n+s_{n+2}=F_{n+5}, \forall n \geq 1$.
( $F_n$ là số hạng thứ $n$ của dãy số Fibonacci: $F_1=F_2=1, F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \forall n \geq 1$.)
