Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2016 sở GD và ĐT Quảng Ninh
Trong năm học 2016, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ninh đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh dành cho khối lớp 12, môn Toán. Đề thi này được thiết kế với 6 câu hỏi tự luận, yêu cầu các thí sinh vận dụng kiến thức toán học một cách sâu rộng và linh hoạt để giải quyết các tình huống phức tạp.
Các câu hỏi trong đề thi bao quát các lĩnh vực như đại số, hình học, giải tích, xác suất thống kê và một số chủ đề nâng cao khác. Chúng được xây dựng nhằm kiểm tra năng lực tư duy logic, phân tích và giải quyết vấn đề của học sinh một cách toàn diện. Mỗi câu hỏi đòi hỏi học sinh phải thể hiện sự hiểu biết sâu sắc về khái niệm, nguyên lý và phương pháp giải toán, cũng như khả năng tư duy sáng tạo và linh hoạt.
Điểm đặc biệt của đề thi này là việc cung cấp đáp án và thang điểm chi tiết cho từng câu hỏi. Điều này giúp các giáo viên và học sinh có thể đánh giá một cách chính xác mức độ hiểu biết và năng lực giải toán của mình, từ đó có thể điều chỉnh và cải thiện trong quá trình học tập và ôn luyện.
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2016 của Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ninh đã trở thành một công cụ đánh giá năng lực toán học xuất sắc của học sinh, đồng thời góp phần khuyến khích và phát triển tài năng trong lĩnh vực này tại địa phương.
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2016 sở GD và ĐT Quảng Ninh
Bài 1(3 điểm) :
Cho hàm số : $\mathrm{y}=(2-m) \mathrm{x}^3-6 m \mathrm{x}^2+9(2-m) \mathrm{x}-2$ có đồ thị $\left(\mathrm{C}_{\mathrm{m}}\right)$, với $m$ là tham số. Tìm $m$ để $\left(\mathrm{C}_m\right)$ cắt đường thẳng $\mathrm{d}: \mathrm{y}=-2$ tại ba điểm phân biệt sao cho diện tích tam giác tạo bởi gốc tạo độ $\mathrm{O}$ và hai giao điểm không nằm trên trục tung là $\sqrt{13}$
Bài 2 (3 điểm) : Chứng minh : $\tan 142^{\circ} 30^{\prime}=2+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}$
Bài 3 (3 điểm) : Giải phương trình:
$$
2^{\frac{1-x^2}{x^2}}-2^{\frac{1-2 x}{x^2}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}
$$
Bài 4 (3 điểm) :
Một học sinh tham dự kỳ thi môn Toán. Học sinh đó phải làm một đề thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu. Mỗi câu có 4 đáp án khác nhau, trong đó chỉ có một đáp án đúng. Học sinh sẽ được chấm đỗ nếu trả lời đúng ít nhất 6 câu. Vì học sinh đó không học bài nên chi chọn ngẫu nhiên đáp án trong cả 10 câu hỏi. Tính xác suất để học sinh thi đỗ.
Bài 5(6 điểm) :
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $\mathrm{Oxy}$, cho tam giác $\mathrm{ABC}$ có ba góc đều nhọn. Đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ $\mathrm{B}$ và đường thẳng $\mathrm{AC}$ lần lượt có phương trình : $3 \mathrm{x}+5 \mathrm{y}-8=0 ; \quad \mathrm{x}-\mathrm{y}-4=0$. Đường thẳng qua $\mathrm{B}$ và vuông góc với $\mathrm{AC}$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $\mathrm{ABC}$ tại điểm thứ hai là $\mathrm{D}(4 ;-2)$. Tính diện tích tam giác $\mathrm{ABC}$.
2. Cho hình chóp đều $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$, có đáy là hình vuông $\mathrm{ABCD}$ với độ dài cạnh bằng $\mathrm{a}$ và tâm là $\mathrm{O}$. Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ lần lượt là trung điểm của $\mathrm{SA}$ và $\mathrm{BC}$. Biết góc giữa $\mathrm{MN}$ và mặt phẳng $(\mathrm{ABCD})$ bằng $60^{\circ}$. Tính $\operatorname{cosin}$ của góc giữa $\mathrm{MN}$ và mặt phẳng (SBD).