Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Gia Lai
Trong một ngày đầu đông se lạnh, khi những cơn gió nhẹ vẫn đủ sức lay động những chiếc lá vàng cuối cùng trên cành, một kỳ thi đặc biệt đã diễn ra tại tỉnh Gia Lai xinh đẹp. Đó là kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh môn Toán năm học 2021 – 2022, được tổ chức bởi Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Gia Lai vào ngày 22 tháng 12 năm 2021.
Đề thi gồm 5 bài toán tự luận, được trình bày gọn gàng trong một trang giấy duy nhất. Các thí sinh phải vật lộn với những câu hỏi khó khăn này trong vòng 180 phút, không kể thời gian phát đề. Mỗi bài toán là một thử thách đầy thú vị, đòi hỏi sự sáng tạo và tư duy logic của các học sinh.
Kỳ thi này không chỉ là một cuộc tranh tài về kiến thức, mà còn là một cơ hội để các tài năng trẻ thể hiện khả năng giải quyết vấn đề, sự kiên trì và đam mê với môn Toán. Những học sinh xuất sắc nhất sẽ được tôn vinh và nhận được sự công nhận xứng đáng cho nỗ lực của mình.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Gia Lai
Câu 1 (4,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình
$$
\left\{\begin{array}{l}
x\left(y^2+z\right)=z(z+x y) \\
y\left(z^2+x\right)=x(x+y z) \quad(x, y, z \in \mathbb{R}) . \\
z\left(x^2+y\right)=y(y+z x)
\end{array}\right.
$$
b) Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
$$
\frac{a^2}{b^{2021}+c^{2022}+1}+\frac{b^2}{c^{2021}+a^{2022}+1}+\frac{c^2}{a^{2021}+b^{2022}+1}>\frac{1}{5} \text {. }
$$
Câu 2 (4,0 điểm).
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $u_1=3$ và
$$
n u_{n+1}=2(n+1) u_n-n-2, \forall n \geq 1 .
$$
a) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.
b) Chứng minh rằng với $p$ là số nguyên tố lẻ bất kỳ, luôn tồn tại hai số hạng liên tiếp của dãy là bội của $p$.
Câu 3 (5,0 điểm).
Cho tam giác $A B C$ nhọn, có $A B<B C$, nội tiếp đường tròn $(O)$, hai đường cao $A E$ và $C F$ cắt nhau tại $H$ (với $E \in B C, F \in A B$ ). Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $A C$. Tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ và $C$ cắt nhau tại $Z$. Gọi $X$ là giao điểm của $Z A$ và $E F, Y$ là giao điểm của $Z C$ và $E F$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $B E F$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $D(D$ khác $B)$.
a) Chứng minh rằng 3 điểm $M, H$ và $D$ thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng 4 điểm $D, X, Z$ và $Y$ cùng nằm trên một đường tròn.
