Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2021 sở GD&ĐT Quảng Ninh
Tại tỉnh Quảng Ninh, một sự kiện quan trọng đã diễn ra vào Thứ Ba, ngày 21/12/2021 – Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh THPT môn Toán năm học 2021 – 2022 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh này tổ chức. Đây là một cơ hội để các học sinh giỏi môn Toán thể hiện năng lực và kiến thức của mình.
Đề thi năm nay gồm 06 bài toán tự luận, được trình bày trên 01 trang giấy. Thời gian làm bài dành cho các thí sinh là 180 phút (03 giờ đồng hồ), không tính thời gian phát đề. Với thời gian dài như vậy, các em học sinh sẽ có cơ hội thỏa sức suy nghĩ, tính toán và giải quyết các bài toán một cách tỉ mỉ và chính xác.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi để các tài năng trẻ tỏa sáng mà còn là cơ hội để các em học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề, tư duy logic và khả năng làm việc trong thời gian giới hạn. Những kinh nghiệm quý báu này sẽ giúp ích rất nhiều cho các em trong quá trình học tập và phát triển sau này.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2021 sở GD&ĐT Quảng Ninh
Câu 1. (4 điểm)
a) Cho hàm số $y=2(x+1)\left[4 x^2+4(m+2) x+5 m+7\right]+4$ có đồ thị là $\left(C_m\right)$, với $m$ là tham số. Cho đường thẳng $(\mathrm{d}): y=2 x+6$ và điểm $I(-3 ; 4)$. Tìm $m$ đề (d) cắt $\left(C_m\right)$ tại ba điểm phân biệt $A(-1 ; 4), B, C$ sao cho tam giác $I B C$ có diện tích bằng 4 .
b) Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn chứa dầu hình trụ có thể tích bằng $\frac{125 \pi}{4}\left(m^3\right)$. Tìm bán kính đáy của bồn chứa dầu sao cho bồn chứa dầu được làm ra tốn ít nguyên vật liệu nhất.
Câu 2. (4 điểm)
a) Cho hàm số $f(x)=x^3-3 x+2$ và hai số thực $a, b$ thỏa mãn các điều kiện: $a>2021^{\log _{\mathrm{mm}} b} \geq 1$; $f\left(\log _{2021} a\right)+2=f\left(\log _{2022} b\right)$. Tính $\log _{2022}(a+b)$.
b) Cho tam giác $A B C$ có các góc thỏa mãn điều kiện $\tan B=\frac{3-2 \tan C}{2+3 \tan C}$. Chứng minh $\triangle A B C$ có một góc tù và tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$, biết rằng $B C=6$.
Câu 3. (4 điểm)
a) Một hộp đựng 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10 . Lấy ra $n$ quả cầu trong 10 quả cầu đó, biết xác suất lấy được ít nhất một quả cầu mà số ghi trên đó chia hết cho 5 trong $n$ quả cầu được lấy ra là $\frac{2}{3}$. Tìm $n$.
b) Tính giới hạn $I=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{9-4 x}+2 x^3-7 x^2+6 x-1}{\sqrt{12 x-15}+3 x^2-14 x+13}$.
Câu 4. (4 điểm)
Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $A$, góc $\widehat{S B A}=S \overparen{C A}=90^{\circ}, A B=a \sqrt{6}$, $A C=a \sqrt{3}$, khoàng cách từ $C$ đến $(S A B)$ bằng $\frac{12 a}{7}$.
a) Tính thể tích khối chóp $S . A B C$.
b) Gọi $O, M$ lần lượt là trung điểm của $B C, S C$; $(P)$ là mặt phẳng chứa $B M$ và song song với $A O$. Gọi góc giữa $S B$ và $(P)$ là $\alpha$. Tính $\sin \alpha$.
c) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp M.ABC.
