Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Hải Dương
Trong nỗ lực không ngừng tìm kiếm và bồi dưỡng những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hải Dương đã tổ chức một kỳ thi đặc biệt dành cho học sinh lớp 12 trong năm học 2018 – 2019. Kỳ thi này, diễn ra vào ngày 04/10/2018, nhằm mục đích tuyển chọn những học sinh có năng lực vượt trội môn Toán đang theo học tại các trường Trung học Phổ thông trên địa bàn tỉnh Hải Dương.
Đề thi gồm 5 bài toán tự luận, được thiết kế để thách thức và đánh giá khả năng giải quyết vấn đề phức tạp của các thí sinh. Trong khuôn khổ một trang đề thi, các em phải vận dụng tối đa kiến thức và kỹ năng của mình để giải quyết các bài toán đa dạng và khó khăn, đòi hỏi tư duy logic, sáng tạo và khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế.
Mục tiêu chính của kỳ thi là tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học tại tỉnh Hải Dương, những tài năng tiềm năng của ngành. Những học sinh đạt điểm cao nhất sẽ được bồi dưỡng và rèn luyện thêm, chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi môn Toán cấp Quốc gia – một sân chơi lớn hơn, thách thức hơn để các em thể hiện tài năng và đam mê của mình.
Đề thi được cung cấp kèm theo lời giải chi tiết và thang điểm, giúp các thí sinh có thể tự đánh giá và rút ra bài học kinh nghiệm quý báu cho những lần thi sau. Kỳ thi này không chỉ là một cuộc thi tuyển chọn, mà còn là cơ hội để các tài năng trẻ được khám phá, được thử thách và được định hướng phát triển trong tương lai.
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Hải Dương
Câu I (2,0 điểm)
1) Cho hàm số $y=\frac{2 x-1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Tìm $m$ để đường thẳng $d: y=-x+m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho $\triangle P A B$ đều, biết $P(2 ; 5)$.
2) Một mảnh đất hình chữ nhật $A B C D$ có chiều dài $A B=25 \mathrm{~m}$, chiều rộng $A D=20 \mathrm{~m}$ được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn $M N(M, N$ lần lượt là trung điểm $B C$ và $A D)$. Một đội xây dựng làm một con đường đi từ $A$ đến $C$ qua vạch chắn $M N$, biết khi làm đường trên miền $A B M N$ mỗi giờ làm được $15 \mathrm{~m}$ và khi làm trong miền $C D N M$ mỗi giờ làm được $30 \mathrm{~m}$. Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ $A$ đến $C$.
Câu II (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}(3 x+1)^2+4 \sqrt{y}=y^2+4 \sqrt{3 x+1} \\ 3 x y=4 x+4+2 \sqrt{x+3}\end{array}\right.$.
2) Trong cuộc thi: “Thiết kế và trình diễn các trang phục dân tộc” do Đoàn trường THPT tổ chức vào tháng 3 năm 2018 với thể lệ mỗi lớp tham gia một tiết mục. Kết quả có 12 tiết mục đạt giải trong đó có 4 tiết mục khối 12 , có 5 tiết mục khối 11 và 3 tiết mục khối 10. Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên 5 tiết mục biểu diễn chào mừng 26 tháng 3 . Tính xác suất sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn và trong đó có ít nhất hai tiết mục của khối 12 .
Câu III (2,0 điểm)
1) Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $u_1=1, u_{n+1}=\frac{\sqrt{1+u_n^2}-1}{u_n}, \forall n \geq 1$. Xét tính đơn điệu và bị chặn của $\left(u_n\right)$.
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$, cho hình thang cân $A B C D(A B / / C D, A B>C D)$ có $A D=D C, D(3 ; 3)$. Đường thẳng $A C$ có phương trình $x-y-2=0$, đường thẳng $A B$ đi qua $M(-1 ;-1)$. Viết phương trình đường thẳng $B C$.
