Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 sở GD&ĐT Bình Phước
Trong nỗ lực thúc đẩy và tôn vinh các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bình Phước đã tổ chức một sự kiện quan trọng vào ngày 22 tháng 09 năm 2019. Đây là Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 năm 2019 môn Toán, với mục tiêu tuyên dương và khích lệ các học sinh xuất sắc trong quá trình học tập môn Toán, đồng thời thành lập đội tuyển học sinh giỏi tỉnh Bình Phước để tham dự Kỳ thi học sinh giỏi môn Toán cấp Quốc gia trong năm học 2019 – 2020.
Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bình Phước soạn thảo gồm 01 trang với 06 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Thời gian dành cho các học sinh làm bài là 180 phút, đủ để các em thể hiện khả năng và sự thông thạo trong môn Toán.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi trí tuệ mà còn là cơ hội để các học sinh giỏi được khám phá và phát triển tiềm năng của mình. Sự chuẩn bị chu đáo và sự nỗ lực không ngừng của các em sẽ là chìa khóa để đạt được thành tích cao trong kỳ thi này, mở ra cánh cửa tham gia vào đội tuyển học sinh giỏi tỉnh Bình Phước và tiếp tục chinh phục những thử thách mới ở cấp độ cao hơn.
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 sở GD&ĐT Bình Phước
Câu 1. (4 điểm)
Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số $y=f(x)$.
b) Tìm hai điểm $A, B$ thuộc về hai nhánh của đồ thị $(C)$ sao cho $A B$ ngắn nhất.
Câu 2. (6 điểm)
a) Giải phương trình: $(\sin 2 x+\cos 2 x) \cos x+2 \cos 2 x-\sin x=0$.
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2 x y^2-y-\sqrt{y^2+1}+2 x y^2 \sqrt{4 x^2+1}=0 \\ x^3-2 \sqrt{2 x} \sqrt{y}=2 \sqrt[3]{x+6}+2\end{array}\right.$
c) Có 27 tấm thẻ được đánh các số tự nhiên từ 1 đến 27 (mỗi thẻ đánh đúng một số). Rút ngẫu nhiên ba thẻ. Tính xác suất để rút được ba thẻ mà tổng các số trên ba thẻ chia hết cho 3 .
Câu 3. (4 điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $O x y$. Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn tâm $I(-2 ;-1)$, $\widetilde{A I B}=90^{\circ}, H(-1 ;-3)$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $B C$ và $K(-1 ; 2)$ là một điểm thuộc đường thẳng $A C$. Tìm tọa độ các đỉnh $A, B, C$. Biết rằng điềm $A$ có hoành độ dương.
b) Cho tam giác $A B C \quad(A B<A C)$. Đường phân giác trong góc $A$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ tại điểm $D$. Gọi $E$ là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng $A C$ và đường phân giác ngoài của góc $A$. Gọi $H$ là giao điểm của $D E$ và $A C$. Đường thẳng qua $H$ và vuông góc với $D E$ cắt $A E$ tại $F$. Đường thẳng qua $F$ vuông góc với $A E$ cắt $A B$ tại $K$. Chứng minh rằng $K H$ song song $B C$.
