Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hà Tĩnh
Vào một buổi sáng tháng 12 năm 2019, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh đã tổ chức một sự kiện quan trọng: Kỳ thi chọn Học sinh Giỏi (HSG) cấp tỉnh môn Toán dành cho học sinh lớp 12 Trung học Phổ thông (THPT) trong năm học 2019 – 2020. Sự kiện này đánh dấu một cột mốc quan trọng trong quá trình đánh giá và tôn vinh những tài năng xuất sắc trong lĩnh vực Toán học của các học sinh trung học phổ thông trên khắp tỉnh Hà Tĩnh.
Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm học 2019 – 2020 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh soạn thảo gồm có 01 trang với 09 bài toán dạng tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách sáng tạo và logic. Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, tạo ra một môi trường thử thách đòi hỏi sự tập trung cao độ và khả năng quản lý thời gian hiệu quả từ các thí sinh.
Kỳ thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm học 2019 – 2020 tại Hà Tĩnh không chỉ là một sân chơi để các học sinh thể hiện tài năng và nỗ lực học tập, mà còn là một cơ hội để khuyến khích và phát triển niềm đam mê Toán học trong cộng đồng học sinh trung học phổ thông trên toàn tỉnh.
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hà Tĩnh
Câu 1 (2,5 điểm). Cho hàm số $y=\frac{x-3}{x^2+x+2}(C)$.
Tìm tọa độ tất cả các điểm thuộc đồ thị $(C)$ của hàm số và có tung độ nguyên.
Câu 2 (2,5 điểm). Cho hàm số $y=\frac{x^4}{2}-3 x^2+\frac{3}{2}(C)$.
Tìm tọa độ tất cả các điểm $M$ thuộc đồ thị $(C)$ sao cho tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại $M$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $P, Q$ khác $M$ thỏa mãn $M P=3 M Q$ với $P$ nằm giữa $Q$ và $M$.
Câu 3 (2,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị $\mathrm{m}$ để phương trình sau có nghiệm:
$$
\left(\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x^2+x+1}\right)\left(\sqrt{x^2-x+1}-m\right)+x+2 m+6=0 .
$$
Câu 4 (2,0 điểm). Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $\left(x-2 \log _2 x\right) \sqrt{9^x-(m-1) 3^x-m}=0$ (với $m$ là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để tập hợp $S$ có hai phần tử?
Câu 5 (2,0 điểm). Cho tứ diện $A B C D$ có $A B=C D=\sqrt{5}, A C=B D=\sqrt{10}, A D=B C=\sqrt{13}$. Tính khoảng cách từ điểm $\mathrm{A}$ đến mặt phẳng $(B C D)$.
Câu 6 (3,0 điểm). Cho hình chóp tứ giác $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có $S A=x$ và tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích khối chóp $\mathrm{S}$. ABCD theo $x$ và tìm $x$ để thể tích đó lớn nhất.
