Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Đồng Tháp
Vào ngày Chủ Nhật, 31/05/2020, Sở Giáo Dục và Đào Tạo tỉnh Đồng Tháp đã tổ chức một sự kiện quan trọng trong lĩnh vực giáo dục: Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán dành cho học sinh lớp 12 năm học 2019 – 2020. Sự kiện này nhằm tôn vinh và khuyến khích những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, đồng thời tạo ra một sân chơi công bằng và thách thức để các em học sinh có cơ hội thể hiện kiến thức và kỹ năng của mình.
Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 do Sở Giáo Dục và Đào Tạo tỉnh Đồng Tháp soạn thảo gồm 05 bài toán đa dạng và phức tạp, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức một cách toàn diện và sáng tạo. Thời gian dành cho các em học sinh để hoàn thành bài thi là 90 phút, một khoảng thời gian đủ dài để các em có thể thể hiện hết năng lực của mình.
Kỳ thi này không chỉ đơn thuần là một cuộc thi kiểm tra kiến thức, mà còn là một cơ hội để các em học sinh rèn luyện tính kiên trì, sự tập trung và khả năng giải quyết vấn đề. Những kỹ năng này sẽ là nền tảng vững chắc cho sự phát triển trong tương lai của các em, bất kể con đường nào các em lựa chọn.
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Đồng Tháp
Câu 1. (4,0 điểm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=-x^4+2 x^2+3$.
b) Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)=(x+9)(4-x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Xét tính đơn điệu của hàm số $y=f\left(x^2\right)$.
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Giải phương trình $\log _3^2 x+\sqrt{\log _3^2 x+1}-55=0$.
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^4+x^2 y^2+x y\left(2 x^2+1\right)=11 \\ x^3 y+x^2+x^2 y^2+2 x y=11\end{array} \quad x, y \in \mathbb{R}\right.$.
Câu 3. (4,0 điểm)
a) Cho hàm số $f(x)$ thoả mãn $\left[f^{\prime}(x)-f(x)\right] e^x=1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ và $f(0)=\frac{1}{2}$. Tính $\int_0^1 f(x) d x$.
b) Một nhóm học sinh gồm 7 bạn nam và 3 bạn nữ được xếp thành một hàng ngang. Tính xác suất để không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau.
Câu 4. (4,0 điểm)
a) Cho hình lăng trụ $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có tam giác $A B C$ vuông tại $B, A B=a \sqrt{2}, B C=2 a$. Hình chiếu vuông góc của $A^{\prime}$ trên mặt phẳng $(A B C)$ trùng với trung điểm của $B C$. Góc giữa cạnh bên $A A^{\prime}$ và mặt đáy bằng $60^{\circ}$. Tính theo $a$ thể tích khối lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $A A^{\prime}, B C$.
b) Trong mặt phẳng $O x y$, cho hình vuông $A B C D$ có tâm $I$. Biết $E(2 ; 3), F(-2 ; 1)$ lần lượt là trung điểm của $B C, I D$ và điểm $A$ có tung độ dương. Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $A B C$.
