Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Hà Tĩnh
Trong nỗ lực nhằm tuyển chọn và bồi dưỡng những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh đã biên soạn một đề thi đặc biệt dành cho kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp Trung học Phổ thông năm học 2018 – 2019. Đề thi này được thiết kế theo hình thức tự luận, bao gồm 4 bài toán khó khăn và đòi hỏi sự thông thạo về kiến thức cũng như kỹ năng giải quyết vấn đề của thí sinh.
Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, tạo ra một môi trường thử thách đáng kể cho các học sinh tham gia. Kỳ thi quan trọng này đã diễn ra vào ngày 03 tháng 12 năm 2018, thu hút sự tham gia của những học sinh xuất sắc nhất từ các trường Trung học Phổ thông trên khắp tỉnh Hà Tĩnh.
Mục đích chính của đề thi là tuyển chọn những học sinh giỏi môn Toán để tiếp tục bồi dưỡng và tạo điều kiện cho họ tham gia kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp quốc gia. Đây là một cơ hội quý giá để các tài năng trẻ được khám phá và phát triển tiềm năng của mình trong lĩnh vực Toán học, đồng thời thể hiện sự nỗ lực và cam kết của Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh trong việc nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao cho tỉnh nhà.
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Hà Tĩnh
Câu 1. (5.0 điểm)
a. Cho hàm số $y=x^3-3 m x^2+4 m^2-2$ có đồ thị là $\left(C_m\right)$ và điểm $C(1 ; 4)$. Có bao nhiêu gıá trị nguyên của $m$ để đồ thị hàm số $\left(C_m\right)$ có hai điểm cực trị $A, B$ sao cho diện tích tam giác $A B C$ bằng 4 ?
b. Có 10 đội tuyền bóng đá quốc gia ở khu vực Đông Nam Á tham gia thi đấu giải AFF Suzuki Cup 2018 trong đó có đội tuyển Việt Nam và đội tuyển Thái Lan, các đội được chia làm hai bảng, ký hiệu là bảng $A$ và bảng $B$, mỗi bảng có 5 đội. Việc chia bảng được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để hai đội tuyền Việt Nam và Thái Lan nằm ở hai bảng đấu khác nhau.
Câu 2. (5.0 điểm)
a. Tìm các giá trị của $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm $\left\{\begin{array}{l}\log _{2018} x+\log _{2019} y=1 \\ \sqrt{\log _{2019} x}+\sqrt{\log _{2018} y}=m\end{array}\right.$
b. Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ có $f(-3)>8, f(4)>\frac{9}{2}$, $f(2)<\frac{1}{2}$. Biết rằng hàm số $y=f^{\prime}(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số $y=\left|2 f(x)-(x-1)^2\right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?
