Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán năm học 2019 – 2020
Trong nỗ lực không ngừng nhằm thúc đẩy sự phát triển của giáo dục Toán học tại Việt Nam, đội ngũ hdgmvietnam.org đã giới thiệu đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán năm học 2019 – 2020 (VMO 2019 – 2020) đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh. Kỳ thi quan trọng này diễn ra trong hai ngày 27 và 28 tháng 12 năm 2019, thu hút sự tham gia của những học sinh xuất sắc nhất trên cả nước.
Đề thi gồm tổng cộng 07 bài toán đa dạng, bao gồm các chủ đề như Giới hạn dãy số, Bất đẳng thức, Dãy số nguyên, Hình học phẳng, Hệ phương trình, và Tổ hợp. Điều đáng chú ý là cấu trúc của đề thi năm nay khác biệt so với năm trước, với các câu hỏi được thiết kế để gợi mở và dẫn dắt thí sinh, thậm chí có những ý cho điểm ngay từ đầu.
Mặc dù ý tưởng của các câu hỏi không hoàn toàn mới mẻ, nhưng chúng vẫn đặt ra những thử thách đáng kể cho các thí sinh. Hầu hết các em học sinh nếu ôn luyện cẩn thận sẽ có thể làm tốt 4 ý a và có thể làm thêm 1 ý b nào đó. Các ý b có độ khó tương đương nhau, tùy thuộc vào sở trường của từng thí sinh, nhưng số lượng học sinh làm được trọn vẹn cả bài hình là không nhiều.
Ngày thi thứ hai mang đến một bất ngờ lớn với sự xuất hiện của câu biện luận hệ phương trình và ý tổ hợp a khá nhẹ nhàng. Các câu hệ a và tổ a được coi như cho điểm hoàn toàn. Cả câu hình và tổ b ở mức độ khó trung bình, với yêu cầu xây dựng mô hình đơn giản. Tuy nhiên, câu hệ b và tổ c thực sự là thách thức lớn, đòi hỏi kỹ năng xử lý tình huống tốt từ các thí sinh.
Nhìn chung, đề thi năm nay mang tính mới mẻ, đòi hỏi các thí sinh phải vừa nắm chắc kiến thức, vừa phải có khả năng sáng tạo mới có thể hoàn thành trọn vẹn. Đây là một cơ hội quý báu để các học sinh giỏi Toán trên cả nước thể hiện tài năng và nỗ lực của mình, đồng thời góp phần thúc đẩy sự phát triển của giáo dục Toán học tại Việt Nam.
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán năm học 2019 – 2020
Bài 1. (5 điểm) Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi $x_1=1$ và
$$
x_{n+1}=x_n+3 \sqrt{x_n}+\frac{n}{\sqrt{x_n}} \text { với mọi } n \geq 1 \text {. }
$$
a) Chứng minh rằng $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n}{x_n}=0$.
b) Tính giới hạn $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n^2}{x_n}$.
Bài 2. (5 điểm)
a) Cho ba số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng
$$
|a-b|+|b-c|+|c-a| \leq 2 \sqrt{2} \text {. }
$$
b) Cho 2019 số thực $a_1, a_2, \ldots, a_{2019}$ thỏa mãn $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{2019}^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của
$$
S=\left|a_1-a_2\right|+\left|a_2-a_3\right|+\cdots+\left|a_{2019}-a_1\right| .
$$
Bài 3. (5 điểm) Cho dãy số $\left(a_n\right)$ xác định bởi $a_1=5, a_2=13$ và
$$
a_{n+2}=5 a_{n+1}-6 a_n \text { với mọi } n \geq 2 \text {. }
$$
a) Chứng minh rằng hai số hạng liên tiếp của dãy trên nguyên tố cùng nhau.
b) Chứng minh rằng nếu $p$ là ước nguyên tố của $a_{2^k}$ thì $p-1$ chia hết cho $2^{k+1}$ với mọi số tự nhiên $k$.
Bài 4. (5 điểm) Cho tam giác $A B C$ nhọn không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ và trực tâm $H$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là các điểm đối xứng với $O$ qua $B C, C A, A B$.
a) Gọi $H_a$ là điểm đối xứng của $H$ qua $B C$, và $A^{\prime}$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$. Gọi $O_a$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $O B C$. Chứng minh rằng $H D^{\prime}, A^{\prime} O_a$ cắt nhau tại một điểm trên $(O)$.
b) Lấy điểm $X$ sao cho tứ giác $A X D A^{\prime}$ là hình bình hành. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác $A H X, A B F, A C E$ có một điểm chung khác $A$.
