Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT 2019 môn Toán (ngày thi thứ nhất)
Trong nỗ lực thúc đẩy phát triển tài năng toán học của học sinh trung học phổ thông trên toàn quốc, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tổ chức Kỳ thi chọn Học sinh giỏi Quốc gia THPT năm 2019 môn Toán. Sự kiện quan trọng này diễn ra trong hai ngày, với ngày thi thứ nhất (VMO ngày 1) được tổ chức vào Chủ Nhật, ngày 13 tháng 01 năm 2019.
Đề thi ngày thứ nhất gồm 04 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh vận dụng kiến thức toán học một cách sâu rộng và linh hoạt trong thời gian 180 phút. Các câu hỏi được thiết kế nhằm kiểm tra khả năng tư duy logic, phân tích và giải quyết vấn đề của học sinh, đồng thời khuyến khích sự sáng tạo và tư duy phản biện ở cấp độ cao.
Trang web hdgmvietnam.org đã giới thiệu đề thi VMO ngày 1 cùng với lời giải tham khảo, cung cấp cho các giáo viên, học sinh và những người quan tâm một nguồn tài liệu quý giá để tham khảo, nghiên cứu và nâng cao năng lực toán học. Việc công bố đề thi và lời giải không chỉ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cấu trúc và yêu cầu của kỳ thi, mà còn khuyến khích tinh thần học tập và phát triển bản thân.
Kỳ thi chọn Học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán là một sân chơi trí tuệ đỉnh cao, quy tụ những tài năng xuất sắc nhất từ khắp các tỉnh thành trên cả nước. Đây là cơ hội quý giá để các em thể hiện năng lực, đam mê và niềm đam mê với môn Toán, đồng thời khích lệ tinh thần học tập và phấn đấu không ngừng trong lĩnh vực này.
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT 2019 môn Toán (ngày thi thứ nhất)
Bài 1. Cho hàm số liên tục $f: \mathbb{R} \rightarrow(0 ;+\infty)$ thỏa mãn $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$.
a) Chứng minh rằng $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$.
b) Chứng minh rằng tồn tại hai dãy $\left(x_n\right),\left(y_n\right)$ với $x_n<y_n, \forall n=1,2,3, \ldots$ sao cho chúng cùng hội tụ tới một giới hạn và thỏa mãn $f\left(x_n\right)=f\left(y_n\right)$ với mọi $n$.
Bài 2. Cho dãy số nguyên dương $\left(x_n\right)$ thỏa mãn $0 \leq x_0<x_1 \leq 100$ và
$$
x_{n+2}=7 x_{n+1}-x_n+280, \quad \forall n \geq 0 \text {. }
$$
a) Chứng minh rằng nếu $x_0=2, x_1=3$ thì với mỗi số nguyên dương $n$, tổng các ước nguyên dương của $x_n x_{n+1}+x_{n+1} x_{n+2}+x_{n+2} x_{n+3}+2018$ thì chia hết cho 24 .
b) Tìm tất cả các cặp số $\left(x_0, x_1\right)$ để số $x_n x_{n+1}+2019$ là số chính phương với vô số số $n$.
Bài 3. Với mỗi đa thức $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n$, đặt
$$
\Gamma(f(x))=a_0^2+a_1^2+\cdots+a_m^2 .
$$
Cho đa thức $P(x)=(x+1)(x+2) \ldots(x+2020)$. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2019 đa thức đôi một phân biệt $Q_k(x)$ với $1 \leq k \leq 2^{2019}$ với các hệ số dương thỏa mãn hai điều kiện sau:
i) $\operatorname{deg} Q_k(x)=2020$.
ii) $\Gamma\left(Q_k(x)^n\right)=\Gamma\left(P(x)^n\right)$ với mọi số nguyên dương $n$.
