Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2023 – 2024
Kính gửi quý thầy cô và các em học trò tài năng trên khắp mọi miền đất nước,
Hdgmvietnam.org xin được gửi tới quý vị một món quà tri thức vô cùng quý giá – đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2023 – 2024. Đây là sân chơi trí tuệ đỉnh cao, nơi các em có cơ hội thể hiện tài năng, trí tuệ và niềm đam mê với môn Toán.
Kỳ thi sẽ diễn ra trong hai ngày 05/01/2024 và 06/01/2024, hứa hẹn sẽ là một hành trình khám phá tri thức đầy thử thách và hấp dẫn. Đề thi được biên soạn công phu bởi các chuyên gia hàng đầu trong lĩnh vực Toán học, với mục tiêu tìm kiếm và tôn vinh những tài năng xuất sắc nhất trên cả nước.
Mỗi câu hỏi trong đề thi đều mang tính sáng tạo và đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt kiến thức Toán học vào giải quyết các vấn đề phức tạp. Hãy xem đây là cơ hội để các em vượt qua giới hạn của bản thân, khám phá tiềm năng vô hạn và khẳng định tài năng của mình trên đấu trường trí tuệ quốc gia.
Để hỗ trợ quý thầy cô và các em trong quá trình ôn luyện và rèn luyện, chúng tôi cũng cung cấp đáp án và lời giải chi tiết cho từng câu hỏi. Tài liệu này sẽ giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng tư duy và tự tin hơn khi bước vào phòng thi.
Chúng tôi tin tưởng rằng với sự chuẩn bị kỹ lưỡng, tinh thần học hỏi không ngừng và lòng quyết tâm, các em sẽ tỏa sáng trong kỳ thi này, khẳng định tài năng và trí tuệ của thế hệ trẻ Việt Nam, đồng thời mang vinh quang về cho gia đình, nhà trường và quê hương.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh một kỳ thi thành công rực rỡ, đạt được kết quả xuất sắc và trở thành niềm tự hào của nền giáo dục nước nhà.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2023 – 2024
Câu 1 (5,0 điểm)
Với mỗi số thực $x$, ta gọi $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.
Cho dãy số $\left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}$ xác định bởi: $a_n=\frac{1}{4^{\left[-\log _4 n\right]}}, \forall n \geq 1$. Đặt $b_n=\frac{1}{n^2}\left(\sum_{k=1}^n a_k-\frac{1}{a_1+a_2}\right), \forall n \geq 1$.
a) Tìm một đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho $b_n=P\left(\frac{a_n}{n}\right), \forall n \geq 1$.
b) Chứng minh rằng tồn tại một dãy số nguyên dương $\left\{n_k\right\}_{k=1}^{\infty}$ tăng thực sự sao cho
$$
\lim _{k \rightarrow \infty} b_{n_k}=\frac{2024}{2025} \text {. }
$$
Câu 2 (5,0 điểm)
Tìm tất cả các đa thức $P(x), Q(x)$ với hệ số thực sao cho với mỗi số thực $a$ thì $P(a)$ là nghiệm của phương trình: $x^{2023}+Q(a) \cdot x^2+\left(a^{2024}+a\right) x+a^3+2025 a=0$.
Câu 3 (5,0 điểm)
Cho $A B C$ là tam giác nhọn với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Gọi $A^{\prime}$ là tâm của đường tròn đi qua $C$ và tiếp xúc $A B$ tại $A$, gọi $B^{\prime}$ là tâm của đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc $B C$ tại $B$, gọi $C^{\prime}$ là tâm đường tròn đi qua $B$ và tiếp xúc $C A$ tại $C$.
a) Chứng minh rằng diện tích tam giác $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ lớn hơn hoặc bằng diện tích tam giác $A B C$.
b) Gọi $X, Y, Z$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $O$ lên các đường thẳng $A^{\prime} B^{\prime}, B^{\prime} C^{\prime}, C^{\prime} A^{\prime}$. Biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $X Y Z$ lần lượt cắt lại các đường thẳng $A^{\prime} B^{\prime}, B^{\prime} C^{\prime}, C^{\prime} A^{\prime}$ tại các điểm $X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}\left(X^{\prime} \neq X, Y^{\prime} \neq Y, Z^{\prime} \neq Z\right)$. Chứng minh rằng các đường thẳng $A X^{\prime}, B Y^{\prime}, C Z^{\prime}$ đồng quy.
