Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2022 – 2023
| | |

Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2022 – 2023

Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh đầy nhiệt huyết,

Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “bữa tiệc” tri thức thịnh soạn – đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán Trung học Phổ thông năm học 2022 – 2023. Đây chắc chắn sẽ là một “món ăn” đầy hấp dẫn và bổ dưỡng cho những “thực khách” đam mê Toán học trên khắp mọi miền đất nước.

“Bữa tiệc” này sẽ chính thức được “bày biện” vào các ngày 24 và 25 tháng 02 năm 2023. Hãy “thắt yếm”, “chuẩn bị khẩu vị” và sẵn sàng “thưởng thức” những “món ăn” tri thức đầy hương vị từ khắp các vùng miền. Chúng tôi tin rằng, với sự “ngon miệng” và niềm đam mê Toán học, các em sẽ “nếm” được hương vị ngọt ngào của thành công và gặt hái nhiều “quả ngọt” trong “bữa tiệc” này.

Đây không chỉ là một “bữa tiệc” tri thức đơn thuần, mà còn là nơi hội tụ của những “đầu bếp” tài năng nhất, những “thực khách” sành ăn nhất trong lĩnh vực Toán học. Hãy tận dụng cơ hội này để giao lưu, học hỏi và trau dồi “khẩu vị” Toán học của mình.

Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “khẩu vị” học tập, không ngừng “thưởng thức” những “món ăn” tri thức mới lạ và “nếm” trọn vẹn hương vị của Toán học trong suốt hành trình chinh phục tri thức.

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2022 – 2023

Bài 1 (5,0 điểm)
Xét dãy số $\left(a_n\right)$ thỏa mãn $a_1=\frac{1}{2}, a_{n+1}=\sqrt[3]{3 a_{n+1}-a_n}$ và $0 \leq a_n \leq 1$, với mọi $n \geq 1$.
a) Chứng minh rằng dãy $\left(a_n\right)$ xác định duy nhất và có giới hạn hữu hạn.
b) Cho dãy số $\left(b_n\right)$ xác định bởi $b_n=\left(1+2 a_1\right)\left(1+2^2 a_2\right) \cdots\left(1+2^n a_n\right)$ với mọi $n \geq 1$. Chứng minh rằng dãy $\left(b_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.

Bài 2 (5,0 điểm)
Cho các số nguyên $a, b, c, \alpha, \beta$ và dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi
$$
u_1=\alpha, u_2=\beta, u_{n+2}=a u_{n+1}+b u_n+c \text { với mọi } n \geq 1 \text {. }
$$
a) Chứng minh rằng nếu $a=3, b=-2, c=-1$ thì có vô số cặp số nguyên $(\alpha ; \beta)$ để $u_{2023}=2^{2022}$.
b) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n_0$ sao cho có duy nhất một trong hai khẳng định sau là đúng:
i) Có vô số số nguyên dương $m$ để $u_{n_0} u_{n_0+1} \cdots u_{n_0+m}$ chia hết cho $7^{2023}$ hoặc $17^{2023}$;
ii) Có vô số số nguyên dương $k$ để $u_{n_0} u_{n_0+1} \cdots u_{n_0+k}-1$ chia hết cho 2023 .

Bài 3 (5,0 điểm)
Tìm số thực dương $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức
$$
\frac{1}{k a b+c^2}+\frac{1}{k b c+a^2}+\frac{1}{k c a+b^2} \geq \frac{k+3}{a^2+b^2+c^2}
$$
đúng với mọi bộ ba số thực dương $(a ; b ; c)$ thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2=2(a b+b c+c a)$.

Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2022 – 2023 kèm đáp án và lời giải chi tiết

Tải tài liệu

5/5 - (1 vote)

Similar Posts

Để Lại Bình Luận

Địa chỉ email của bạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *