Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2021 – 2022
Kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT năm học 2021 – 2022 môn Toán đã diễn ra trong 2 ngày 4 và 5/3/2022. Đề thi năm nay được đánh giá là đẹp, gọn gàng nhưng vẫn có tính phân loại cao. Đề thi gồm 4 câu hỏi tự luận với thời gian làm bài 180 phút, bao gồm các dạng toán số học, đại số, hình học và tổ hợp.
Theo thống kê, tổng số thí sinh đăng ký dự thi năm nay là 4671 em, tăng hơn 100 em so với năm trước. Kết quả kỳ thi đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố vào ngày 26/3/2022.
Điểm đáng chú ý là năm nay Bộ GD&ĐT đã chính thức công bố đáp án của đề thi, một điều chưa từng có trong nhiều năm trở lại đây. Động thái này nhằm đáp ứng nguyện vọng chính đáng của giáo viên và học sinh, đồng thời tránh những nghi ngờ, dư luận trái chiều không đáng có.
Bên cạnh đáp án chính thức, nhiều chuyên gia, giáo viên dạy Toán cũng đã đưa ra những phương pháp giải chi tiết cho từng câu hỏi trong đề thi, giúp học sinh có thêm tài liệu tham
khảo bổ ích. Đây là một kỳ thi đầy thử thách nhưng cũng để lại nhiều dấu ấn đối với các sĩ tử và những người quan tâm đến bộ môn Toán học.
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2021 – 2022
Bài 1 (5,0 điểm)
Cho $a$ là một số thực không âm và dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định bởi
$$
u_1=6, u_{n+1}=\frac{2 n+a}{n}+\sqrt{\frac{n+a}{n} u_n+4}, \forall n \geq 1 .
$$
a) Với $a=0$, chứng minh rằng $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Với mọi $a \geq 0$, chứng minh rằng $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.
Bài 2 ( 5,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f:(0 ;+\infty) \rightarrow(0 ;+\infty)$ thỏa mãn
$$
f\left(\frac{f(x)}{x}+y\right)=1+f(y), \forall x, y \in(0 ;+\infty) .
$$
Bài 3 (5,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $A B C$. Các điểm $E, F$ lần lượt thay đổi trên tia đối của các tia $B A, C A$ sao cho $B F=C E(E \neq B, F \neq C)$. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của $B E, C F$ và $D$ là giao điểm của $B F$ với $C E$.
a) Gọi $I, J$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $D B E, D C F$. Chứng minh rằng $M N$ song song với $I J$.
b) Gọi $K$ là trung điểm của $M N$ và $H$ là trực tâm của tam giác $A E F$. Chứng minh rằng $H K$ luôn đi qua một điểm cố định.
