Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2020 – 2021
Năm học 2020 – 2021, kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán đã diễn ra trong hai ngày liên tiếp, 25/12/2020 và 26/12/2020. Đề thi được chia thành hai phần, mỗi phần dành 180 phút làm bài. Phần thứ nhất gồm 04 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Phần thứ hai bao gồm 03 bài toán tự luận, đòi hỏi sự sáng tạo và khả năng tổng hợp cao hơn.
Trang web hdgmvietnam.org, với mục đích hỗ trợ và nâng cao chất lượng giáo dục, đã giới thiệu đề thi này đến quý thầy cô giáo và các em học sinh. Đây là cơ hội để các giáo viên tham khảo và chuẩn bị tốt hơn cho việc dạy và học, đồng thời giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề phức tạp, chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng.
Với sự nỗ lực và đam mê của các thầy cô giáo, cùng với tinh thần học tập nghiêm túc của các em học sinh, kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán sẽ tiếp tục là sân chơi bổ ích, thúc đẩy phong trào dạy và học Toán ngày càng phát triển.
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2020 – 2021
Bài 1 (5,0 điểm)
Cho dãy số thực $\left(x_n\right)$ có $x_1 \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ và $x_{n+1}=3 x_n^2-2 n x_n^3$ với mọi $n \geq 1$.
a) Chứng minh $\lim x_n=0$.
b) Với mỗi $n \geq 1$ đặt $y_n=x_1+2 x_2+\cdots+n x_n$. Chứng minh rằng dãy $\left(y_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.
Bài 2 (5,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$
f(x) f(y)=f(x y-1)+x f(y)+y f(x) \quad \forall x, y \in \mathbb{R} .
$$
Bài 3 (5,0 điểm)
Cho tam giác nhọn không cân $A B C$ có trực tâm $H$ và $D, E, F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $A, B, C$. Gọi $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $H E F$ với tâm $I$ và $K, J$ lần lượt là trung điểm $B C, E F$. Cho $H J$ cắt lại $(I)$ tại $G, G K$ cắt lại $(I)$ tại $L$.
a) Chứng minh rằng $A L$ vuông góc với $E F$.
b) Cho $A L$ cắt $E F$ tại $M, I M$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $I E F$ tại $N, D N$ cắt $A B, A C$ lần lượt tại $P, Q$. Chứng minh rằng $P E, Q F, A K$ đồng quy.
