Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Lào Cai
Trong nỗ lực không ngừng nhằm khuyến khích và phát triển tài năng Toán học của thế hệ trẻ, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lào Cai đã tổ chức Kỳ thi chọn Học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm học 2018 – 2019 vào ngày 22 tháng 01 năm 2019. Sự kiện này mang ý nghĩa quan trọng trong việc tìm kiếm và tôn vinh những tài năng Toán học xuất sắc đang theo học tại các trường THPT trên địa bàn tỉnh Lào Cai.
Đề thi được biên soạn một cách công phu, gồm 05 bài toán tự luận, đòi hỏi các thí sinh phải vận dụng kiến thức Toán học một cách sâu rộng và linh hoạt. Thời gian làm bài thi là 180 phút, tạo ra một môi trường thử thách đầy cam go và kịch tính, thách thức các học sinh phải đưa ra những giải pháp sáng tạo và logic.
Mục đích chính của kỳ thi này là tìm kiếm và tuyên dương những học sinh giỏi Toán học nhất trong khối THPT tại tỉnh Lào Cai. Những học sinh xuất sắc nhất sẽ được vinh danh và nhận được những phần thưởng xứng đáng, đồng thời trở thành những đại diện tiêu biểu cho tỉnh Lào Cai trong các kỳ thi Toán học cấp cao hơn.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi trí tuệ mà còn là cơ hội để khuyến khích và nuôi dưỡng niềm đam mê Toán học trong thế hệ trẻ, góp phần phát triển nguồn nhân lực chất lượng cao cho tỉnh Lào Cai và cả đất nước.
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Lào Cai
Câu 1. (5,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}(17-3 x) \sqrt{5-x}+(3 y-14) \sqrt{4-y}=0 \\ 2 \sqrt{2 x+y+5}+3 \sqrt{3 x+2 y+11}=x^2+6 x+13\end{array},(x, y \in \mathbb{R})\right.$.
b) Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$
P=\frac{a^2+b c}{b+c}+\frac{b^2+c a}{c+a}+\frac{c^2+a b}{a+b}-4 \sqrt[4]{a+b+c} .
$$
Câu 2. (4,0 điểm).
a) Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)=(x-3)^{2018}\left(e^{2 x}-e^x+\frac{1}{3}\right)\left(x^2-2 x\right)$. Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để hàm số $f\left(x^2-8 x+m\right)$ có đúng 3 điểm cực trị sao cho $x_1^2+x_2^2+x_3^2=50$, trong đó $x_1, x_2, x_3$ là hoành độ của ba cực trị đó.
b) Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định như sau: $\left\{\begin{array}{l}u_1=\frac{1}{2}, u_2=3 \\ u_{n+2}=\frac{u_{n+1} \cdot u_n+1}{u_{n+1}+u_n}, \forall n \geq 1\end{array}\right.$.
Chứng minh rằng $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 3. (3,0 điểm).
a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$ cho hình thang vuông $A B C D$ vuông tại $A$ và $D$, có $C D=2 A D=2 A B$. Gọi $M(2 ; 4)$ là điểm thuộc cạnh $A B$ sao cho $A B=3 A M$. Điểm $N$ thuộc cạnh $B C$ sao cho tam giác $D M N$ cân tại $M$. Phương trình đường thẳng $M N$ là $2 x+y-8=0$. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang $A B C D$ biết $D$ thuộc đường thẳng $d: x+y=0$ và điểm $A$ thuộc đường thẳng $d^{\prime}: 3 x+y-8=0$
b) Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a$. Biết hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(A B C D)$ là điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{A D}=3 \overrightarrow{M D}$. Trên cạnh $C D$ lấy các điểm $I, N$ sao cho $A B M=M B I$ và $M N$ vuông góc với $B I$. Biết góc giữa $S C$ và $(A B C D)$ bằng $60^{\circ}$. Tính thể tích khối chóp $S . A M C B$ và khoảng cách từ $N$ đến mặt phẳng $(S B C)$.
