Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thái Nguyên
Trong nỗ lực nhằm tìm kiếm và bồi dưỡng những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên đã tổ chức Kỳ thi chọn lọc Học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh vào ngày 23 tháng 10 năm 2018. Sự kiện này nhằm mục đích tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất trong môn Toán đang theo học tại các trường Trung học Phổ thông trên địa bàn tỉnh Thái Nguyên.
Đề thi được biên soạn theo hình thức tự luận, bao gồm một trang với năm bài toán khác nhau, yêu cầu các thí sinh hoàn thành trong thời gian 90 phút. Điều đáng chú ý là đề thi này không chỉ đơn thuần là một bộ câu hỏi, mà còn được tích hợp với lời giải chi tiết cho từng bài toán, thể hiện sự chú trọng của ban tổ chức đối với quá trình học tập và rèn luyện của các học sinh.
Mục đích chính của kỳ thi này là tạo cơ hội cho những học sinh giỏi Toán lớp 12 tại Thái Nguyên được bồi dưỡng thêm và chuẩn bị tốt hơn cho các cuộc thi Toán cấp Quốc gia. Việc tham gia kỳ thi này không chỉ giúp các em thử thách bản thân, mà còn là cơ hội để họ được tiếp xúc với những bài toán khó và phức tạp hơn, qua đó rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề và tư duy logic.
Với cấu trúc và nội dung đa dạng, đề thi Chọn lọc Học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh Thái Nguyên không chỉ là một công cụ đánh giá năng lực, mà còn là một cơ hội quý báu để các em học sinh được trau dồi và phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề, chuẩn bị tốt hơn cho các kỳ thi quan trọng trong tương lai.
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thái Nguyên
Bài 1(4 điểm). Cho hàm số $y=x^3-3 x^2+4$ có đồ thị $(C)$, đường thẳng $(d)$ đi qua $A(1 ; 2)$ và có hệ số góc $m$. Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt $A, B, C$ sao cho $B C=4 \sqrt{2}$.
Bài 2(4 điểm). Giải phương trình
$$
x^3-7 x^2+9 x+12=(x-3)(x-2+5 \sqrt{x-3})(\sqrt{x-3}-1)
$$
Bài 3 (4 điểm).
Cho dãy số $\left(u_n\right)_{n=1}^{\infty}$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}u_1=2 \\ u_1+u_2+\ldots+u_{n-1}+u_n=n^2 u_n, n \geq 1\end{array}\right.$.
Tìm giới hạn $\lim \left(n^2 u_n\right)$.
Bài 4 (4 điểm).
Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông cân tại $B, A B=a$. Gọi $I$ là trung điểm của $A C$. Biết hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $A B C$ là điểm $H$ thỏa mãn $\overrightarrow{B I}=3 \overrightarrow{I H}$ và góc giữa hai mặt phẳng $(S A B) ;(S B C)$ bằng $60^{\circ}$. Tính thể tích khối chóp $S . A B C$ đã cho và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A B, S I$ theo $a$.
Bài 5 (4 điểm).
Cho các số thực dương $x, y$ thỏa mãn điều kiện $x^2+2 y^2=\frac{8}{3}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$
P=7(x+2 y)-4 \sqrt{x^2+2 x y+8 y^2} .
$$
