Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Quảng Ngãi
Trong nỗ lực nhằm tuyển chọn và bồi dưỡng những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ngãi đã biên soạn một đề thi đặc biệt dành cho học sinh khối 12 trong năm học 2018 – 2019. Đề thi này, với hình thức tự luận gồm 6 bài toán phức tạp, được thiết kế để thách thức và đánh giá năng lực giải quyết vấn đề của các học sinh giỏi môn Toán.
Trong thời gian 180 phút, các thí sinh phải vận dụng tối đa kiến thức và kỹ năng của mình để giải quyết các bài toán đa dạng và khó khăn. Đề thi này không chỉ đơn thuần kiểm tra kiến thức lý thuyết, mà còn đòi hỏi khả năng tư duy logic, sáng tạo và khả năng áp dụng kiến thức vào các tình huống thực tế.
Mục đích chính của đề thi là tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học, những tài năng tương lai của ngành. Những học sinh đạt điểm cao nhất sẽ được bồi dưỡng và rèn luyện thêm, chuẩn bị cho các cuộc thi cấp cao hơn như kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp Quốc gia. Đây là cơ hội để các em thể hiện tài năng và đam mê của mình, đồng thời được tiếp cận với những thách thức mới, nâng cao trình độ và mở rộng tầm nhìn.
Đề thi được cung cấp kèm theo lời giải chi tiết và thang điểm, giúp các thí sinh có thể tự đánh giá và rút ra bài học kinh nghiệm quý báu cho những lần thi sau.
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Quảng Ngãi
Câu 1 (5,0 điểm).
a) Giải phương trình $\frac{2 \sqrt{3} \sin ^2 x-\sqrt{3} \cos x-2 \sin x}{(1-2 \cos x) \tan x}=\cos x$.
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\left(2 x^2 y-7\right)(\sqrt{3 x-2}-\sqrt{x+3 x y})=5 \\ \sqrt{x^2\left(4+y^2\right)}-1=\sqrt{1+4 x^2}-x y\end{array}\right.$.
Câu 2 (3,0 điểm).
Cho hàm số $y=\frac{2 x+1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Chứng minh rằng với mọi $m$ đường thẳng $y=-2 x+m$ luôn cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Gọi $k_1, k_2$ lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với $(C)$ tại $A$ và $B$. Tìm $m$ để biểu thức $P=\left(k_1\right)^{2019}+\left(k_2\right)^{2019}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3 (3,0 điểm).
a) Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^n=7(n+3)$. Tìm hệ số của số hạng chứa $x^4$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn $\left(2 x^2-\frac{3}{x^3}\right)^n, x \neq 0$.
b) Có hai chiếc hộp chứa bi, mỗi viên bi chỉ mang màu xanh hoặc màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp đúng 1 viên bi. Biết tổng số bi trong hai hộp là 20 và xác suất để lấy được 2 viên bi màu xanh là $\frac{55}{84}$. Tính xác suất để lấy được 2 viên bi màu đỏ.
Câu 4 (4,0 điểm).
Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $A$, tam giác $S A B$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết $A B=7 a, B C=7 \sqrt{3} a, E$ là điểm trên cạnh $S C$ và $E C=2 E S$.
a) Tính thể tích khối chóp $E \cdot A B C$.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A C$ và $B E$.
