Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Cao Bằng
Trong năm học 2018 – 2019, Sở Giáo Dục và Đào Tạo tỉnh Cao Bằng đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán dành cho khối lớp 12. Đề thi được biên soạn một cách công phu, gồm 1 trang với 6 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết.
Mục đích chính của kỳ thi này là tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất trong môn Toán lớp 12 trên địa bàn huyện, nhằm bồi dưỡng và tạo điều kiện thuận lợi cho họ tham gia các kỳ thi học sinh giỏi ở cấp cao hơn như cấp tỉnh, thậm chí là cấp quốc gia. Đây là cơ hội quý giá để các em học sinh giỏi Toán được thể hiện năng lực và tiếp tục phát triển tài năng của mình.
Đề thi được biên soạn với mục tiêu đánh giá toàn diện kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề của các thí sinh. Các bài toán tự luận yêu cầu các em phải vận dụng tư duy logic, suy luận và trình bày lời giải một cách rõ ràng và chi tiết. Đề thi cũng được đính kèm lời giải chi tiết, giúp các học sinh hiểu rõ quá trình suy luận và cách tiếp cận để giải quyết từng bài toán.
Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 12 năm học 2018 – 2019 tại Cao Bằng đã tạo ra một sân chơi công bằng và thách thức cho các học sinh, đồng thời thúc đẩy phong trào học tập và nghiên cứu môn Toán trong cộng đồng học đường.
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Cao Bằng
Câu 1 (4,0 điểm). Cho hàm số $y=x^3-3 x^2+4$ có đồ thị $(C)$.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình $y=-3 x+1$.
b) Gọi $A, B$ là các điểm cực trị của $(C)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $\operatorname{Parabol}(P): y=x^2$ sao cho tam giác $A M B$ vuông tại $M$.
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Tìm tập xác định của hàm số $y=\ln \left(\frac{2 x-1}{x+3}-3\right)$.
b) Giải phương trình: $\sin 2 x+1=6 \sin x+\cos 2 x$.
Câu 3 (3,0 điểm). Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà Toán học nam, 5 nhà Vật lý nữ và 3 nhà Hóa học nữ. Người ta chọn ra từ đó 4 người để đi công tác, tính xác suất sao cho trong 4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn.
Câu 4 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$, cho tam giác $A B C$ có phương trình cạnh $A B: x-y-2=0$, phương trình cạnh $A C: x+2 y-5=0$. Biết trọng tâm của tam giác $G(3 ; 2)$. Xác định tọa độ điểm $A$ và viết phương trình cạnh $B C$.
Câu 5 (4,0 điểm). Cho hình chóp $S . A B C$ có $A B C$ là tam giác vuông tại $B, A B=a \sqrt{3}$, $\widehat{A C B}=60^{\circ}$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(A B C)$ là trọng tâm tam giác $A B C$, gọi $E$ là trung điểm $A C$ biết $S E=a \sqrt{3}$. Tính thể tích khối chóp $S . A B C$ và khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(S A B)$.
