Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2019 sở GD và ĐT Lạng Sơn
Trong hành trình tìm kiếm và đào tạo những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lạng Sơn đã tổ chức một kỳ thi sơ tuyển đặc biệt. Mục đích chính của kỳ thi này là lựa chọn những học sinh ưu tú nhất để đại diện cho tỉnh Lạng Sơn tham gia Kỳ thi Học sinh Giỏi Quốc gia môn Toán lớp 12 năm 2019.
Đề thi được thiết kế dưới hình thức tự luận, bao gồm 5 bài toán khó khăn và thách thức, yêu cầu các thí sinh vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Thời gian dành cho kỳ thi là 180 phút, không tính thời gian giao đề, cho phép các học sinh có đủ không gian để suy nghĩ và trình bày lời giải một cách chi tiết và toàn diện.
Đáng chú ý, đề thi được cung cấp lời giải chi tiết, giúp các giám khảo đánh giá một cách chính xác và công bằng năng lực của các thí sinh. Điều này cũng tạo điều kiện cho các học sinh có thể học hỏi và rút ra bài học quý giá từ quá trình thi cử, giúp họ phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề và tư duy logic.
Kỳ thi được tổ chức vào ngày 24 tháng 8 năm 2018, tạo cơ hội cho các học sinh thể hiện năng lực của mình và cạnh tranh để trở thành đại diện xuất sắc của tỉnh Lạng Sơn trong đấu trường toàn quốc.
Cuộc thi tuyển chọn tài năng Toán học này không chỉ là một sân chơi để các học sinh thể hiện kiến thức và kỹ năng của mình, mà còn là cơ hội để tỉnh Lạng Sơn tìm kiếm những tài năng xuất sắc, đại diện cho vùng đất này trong cuộc đua tài năng toàn quốc. Nó thể hiện nỗ lực và cam kết của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lạng Sơn trong việc phát triển và nâng cao chất lượng giáo dục, đồng thời khuyến khích và nuôi dưỡng tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học.
Trích dẫn Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2019 sở GD và ĐT Lạng Sơn
Câu 1 (4,0 điểm).
Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng
$$
\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2 \geq(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)
$$
Câu 2 (4,0 điểm).
Cho dãy số $\left(x_n\right), n \in \mathbb{N}^*$ được xác định bởi
$$
x_1=2 ; x_{n+1}=\frac{x_n^2+x_n-1}{x_n}, \forall n \in \mathbb{N}^* .
$$
Tìm $\lim \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i^2-1}$
Câu 3 (5,0 điểm).
Cho hình chữ nhật $A B C D$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm các cung nhỏ $\overparen{B C}, \overparen{A D}$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $O M, O N$. Gọi $K$ là điểm đối xứng với $O$ qua $M$.
a. Chứng minh rằng tứ giác $B J D K$ nội tiếp đường tròn.
b. Gọi $P, Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $A B, A C$. Chứng minh rằng $A K \perp P Q$.
Câu 4 (4,0 điểm).
Cho đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên, bậc 2 và hệ số bậc 2 bằng 1 thỏa mãn tồn tại đa thức $Q(x)$ có hệ số nguyên sao cho $P(x) \cdot Q(x)$ là đa thức có tất cả các hệ số đều là $\pm 1$.
a. Chứng minh rằng nếu đa thức $P(x)$ có nghiệm thực $x_0$ thì $\left|x_0\right|<2$.
b. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$.
Câu 5 (3,0 điểm).
Trên mặt phẳng cho $2 n^2(n \geq 2)$ đường thẳng sao cho không có hai đường nào song song và không có ba đường nào đồng quy. Các đường thẳng này chia mặt phẳng ra thành các miền rời nhau. Trong các miền đó, gọi $F$ là tập tất cả các miền đa giác có diện tích hữu hạn. Chứng minh rằng có thể tô $n$ đường thẳng trong số $2 n^2$ đường thẳng đã cho bằng màu xanh sao cho không có miền nào trong tập $F$ có tất cả các cạnh màu xanh.
