Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia 2018 sở GD và ĐT Quảng Ngãi (Ngày 2)
Tại tỉnh Quảng Ngãi, một sự kiện quan trọng đã diễn ra trong năm 2018, đó là kỳ thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia. Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ngãi đã tổ chức một đề thi đầy thách thức, bao gồm 3 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức một cách sâu rộng và linh hoạt.
Thời gian dành cho kỳ thi này là 180 phút, tương đương với 3 giờ liên tục, cho phép các học sinh có đủ không gian để suy nghĩ, tính toán và hoàn thiện bài làm của mình. Điều đáng chú ý là đề thi không chỉ đơn thuần là những câu hỏi khó, mà còn được trang bị lời giải chi tiết và thang điểm, giúp các thí sinh có thể tham khảo, học hỏi và đánh giá bài làm của mình một cách chính xác.
Sự chuẩn bị chu đáo này phản ánh nỗ lực của Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ngãi trong việc tạo ra một môi trường thi đấu chuyên nghiệp và công bằng, đồng thời khuyến khích sự phát triển của tài năng. Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia không chỉ là một cuộc thi đơn thuần, mà còn là một cơ hội để các học sinh thể hiện khả năng, tiếp thu kiến thức mới từ lời giải chi tiết và hiểu rõ hơn về cách đánh giá bài làm của mình.
Trích dẫn Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia 2018 sở GD và ĐT Quảng Ngãi (Ngày 2)
Bài 1. (7 diểm)
Cho hàm số $f: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$thỏa điều kiện
$$
(x+f(y)) \mid(f(x)+x f(y)), \forall x, y \in \mathbb{Z}^{+}(*) .
$$
a) Giả sử $f$ không là hàm hằng, tìm $f(2)$.
b) Tìm tất cả hàm số $f$ thỏa điều kiện (*).
Bài 2. (7 điểm)
a) Cho $P(x)$ là một đa thức hệ số nguyên và năm số nguyên phân biệt $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ thỏa điều kiện $P\left(x_i\right)=5$ với $i=1,2,3,4,5$. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $n$ nào để $-6 \leq P(n) \leq 4$ hoặc $6 \leq P(n) \leq 16$.
b) Cho $x_1, x_2, \ldots, x_k ; y_l, y_2, \ldots, y_n$ là các số nguyên phân biệt (với $k, n \in \mathbb{Z}^{+}$) sao cho tồn tại đa thức hệ số nguyên $P(x)$ thỏa điều kiện
$$
\left\{\begin{array}{l}
P\left(x_1\right)=P\left(x_2\right)=\ldots=P\left(x_k\right)=58 \\
P\left(\mathrm{y}_1\right)=P\left(\mathrm{y}_2\right)=\ldots=P\left(\mathrm{y}_n\right)=2017
\end{array} .\right.
$$
Xác định giá trị lớn nhất của $k n$.
