Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia 2018 sở GD và ĐT Quảng Ngãi (Ngày 1)
Trong quá trình chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi quốc gia năm 2018, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ngãi đã tổ chức một đợt thi thử nhằm chọn lọc những học sinh xuất sắc nhất để tham gia đội tuyển tỉnh. Đề thi này được xem là một công cụ đánh giá quan trọng, giúp sàng lọc và tuyển chọn những tài năng trẻ tiềm năng trong lĩnh vực toán học.
Đề thi bao gồm bốn bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách sáng tạo và logic. Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, đủ để các học sinh thể hiện khả năng tư duy và sự kiên trì trong việc giải quyết những vấn đề phức tạp.
Điều đáng chú ý là đề thi này không chỉ đơn thuần là một bộ câu hỏi, mà còn được trang bị lời giải chi tiết và thang điểm cụ thể. Lời giải chi tiết cung cấp hướng dẫn và phương pháp tiếp cận cho từng bài toán, giúp các học sinh hiểu rõ hơn về quá trình suy luận và cách thức giải quyết vấn đề. Thang điểm rõ ràng cũng đảm bảo tính công bằng và minh bạch trong quá trình chấm thi.
Đề thi này không chỉ là một thử thách đối với các học sinh, mà còn là một cơ hội để họ khẳng định năng lực và đam mê của mình trong lĩnh vực toán học. Những học sinh xuất sắc nhất sẽ được lựa chọn để tham gia đội tuyển tỉnh, tiếp tục chinh phục những thách thức mới trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia năm 2018.
Trích dẫn Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia 2018 sở GD và ĐT Quảng Ngãi (Ngày 1)
Bài 1. (5 điểm)
a) Cho $q$ là số thực thuộc khoảng $(0 ; 1)$ và dãy $\left\{u_n\right\}_{n \geq 1}$ thỏa mãn điều kiện $\left|u_{n+2}-u_{n+1}\right|<q\left|u_{n+1}-u_n\right|, \forall n \geq 1$. Chứng minh rằng dãy $\left\{u_n\right\}$ có giới hạn hữu hạn.
b) Cho dãy $\left\{v_n\right\}_{n \geq 1}$ xác định bởi $0<v_1 \neq 1$ và $v_{n+1}=\frac{3}{2+v_n}, \forall n \geq 1$. Chứng minh rằng dãy $\left\{v_n\right\}$ có giới hạn hữu hạn và tính $\lim v_n$.
Bài 2. (5 điểm)
Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất để $5^n+1$ chia hết cho $7^{2018}$.
Bài 3. (5 điểm)
Có bao nhiêu bộ sắp thứ tự $(a, b, c)$; với $a, b, c$ là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện $[a, b, c]=2^3 \cdot 3^5 \cdot 5^7$ ? (Ki hiệu $[a, b, c]$ là bội chung nhỏ nhất của ba số nguyên dương $a, b, c)$.
Bài 4. (5 điểm)
Cho tam giác nhọn $A B C$ có $B, C$ cố định, $A$ thay đổi. Phía ngoài tam giác $A B C$ dựng các tam giác $A B D, A C E$ vuông cân tại $A$ và hình vuông $B C F G$. Dựng tam giác $X A B$ vuông cân tại $X(X$ khác phía với $D$ đối với đường thẳng $A B)$, tam giác $Y A C$ vuông cân tại $Y(Y$ khác phía với $E$ đối với đường thẳng $A C)$.
a) Chứng minh rằng 3 điểm $D, Y, F$ thẳng hàng.
b) Các đường thẳng $D Y, E X$ cắt nhau tại $P$. Chứng minh rằng đường thẳng $A P$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ thay đổi.
