Đề thi chọn đội tuyển môn Toán năm 2018 – 2019 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội
Trong nỗ lực tìm kiếm và bồi dưỡng những tài năng toán học trẻ, Trường Trung học Phổ thông Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội đã tổ chức một kỳ thi chọn lọc đội tuyển môn Toán cho năm học 2018 – 2019. Kỳ thi này, được hdgmvietnam.org giới thiệu, diễn ra trong hai ngày liên tiếp, 10/09/2018 và 11/09/2018, với hai đề thi riêng biệt.
Mỗi đề thi bao gồm 4 bài toán tự luận, được thiết kế để thách thức và đánh giá năng lực giải quyết vấn đề của các thí sinh. Với thời gian làm bài 180 phút, các học sinh phải vận dụng kiến thức toán học một cách sâu rộng và linh hoạt để hoàn thành các bài toán.
Thông qua kỳ thi này, Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội mong muốn tuyển chọn được những học sinh có năng khiếu toán học xuất sắc, để đưa vào đội tuyển của trường. Các em sẽ được bồi dưỡng và tạo điều kiện để tiếp tục thử sức ở các kỳ thi cấp cao hơn, như Học sinh giỏi cấp Thành phố, cấp Quốc gia, và các cuộc thi toán học khác.
Việc tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển này không chỉ giúp nhà trường tìm kiếm những tài năng toán học tiềm năng, mà còn thúc đẩy sự phát triển của môn Toán tại trường. Các học sinh sẽ có cơ hội được rèn luyện và trau dồi kỹ năng giải quyết vấn đề, đồng thời tạo ra một môi trường cạnh tranh lành mạnh và thúc đẩy sự tiến bộ.
Trích dẫn Đề thi chọn đội tuyển môn Toán năm 2018 – 2019 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội
Câu 1. Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^2+a x+b$ với $a, b \in \mathbb{R}$. Biết rằng tồn tại duy nhất số thực $x_0$ sao cho $f\left(f\left(x_0\right)\right)=0$. Chứng minh rằng $a, b$ là các số không âm.
Câu 2. Cho ba số dương $a_1, b_1, c_1$ thoả mãn $a_1+b_1+c_1=1$ và các dãy số $\left(a_n\right),\left(b_n\right),\left(c_n\right)$ thoả mãn
$$
a_{n+1}=a_n^2+2 b_n c_n, b_{n+1}=b_n^2+2 a_n c_n, c_{n+1}=c_n^2+2 a_n b_n \quad \text { với mọi } n \in \mathbb{N}^* \text {. }
$$
Xét dãy $\left(x_n\right)$ xác định bởi $x_n=a_n^2+b_n^2+c_n^2$ với mọi $n$ nguyên dương. Chứng minh
(a) $x_{n+1}=\frac{2 x_n^2+\left(x_n-1\right)^2}{2}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
(b) $\left(x_n\right)$ có giới hạn hữu hạn khi $n \rightarrow+\infty$ và tìm giới hạn đó.
Câu 3. Ghi lên bảng 2018 số nguyên dương đầu tiên: $1,2,3, \ldots, 2018$. Thực hiện thuật toán sau: mỗi lần cho phép xoá đi hai số $a, b$ mà không có số nào là bội của số kia và thay thế chúng bởi hai số là ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của $a, b$. Hỏi rằng ta có thể thực hiện thuật toán trên vô hạn lần không? Tại sao?
Câu 4. Cho tam giác $A B C$ không cân nội tiếp đường tròn $(O), I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $E$ là giao điểm của $B I$ và $A C, F$ là giao điểm của $C I$ và $A B . M, N$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $B I, C I$ và đường tròn $(O)$. Đường thẳng $B I$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $B N F$ tại điểm thứ hai $P$. Đường thẳng $C I$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $C M E$ tại điểm thứ hai $Q$.
(a) Chứng minh rằng tứ giác $E F P Q$ nội tiếp một đường tròn.
(b) Qua $I$ kẻ đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $B C$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $E F P Q$ nằm trên $\triangle$.
