Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2021 sở GD&ĐT Lâm Đồng
Vào một ngày thu đẹp trời tại tỉnh Lâm Đồng, những tài năng trẻ đam mê Toán học đã hội tụ để chứng minh tài năng của mình. Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lâm Đồng đã tổ chức một kỳ thi đặc biệt vào ngày 11 tháng 9 năm 2020, nhằm tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất để tham gia đội tuyển bồi dưỡng thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán cho năm học 2020 – 2021.
Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2021 do Sở GD&ĐT Lâm Đồng soạn thảo gồm 01 trang với 05 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng tối đa kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Thời gian làm bài thi kéo dài trong 180 phút, đủ để các tài năng trẻ thể hiện khả năng của mình trong môn học vô cùng thú vị và đầy thách thức này.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi để các học sinh thể hiện tài năng, mà còn là cơ hội để họ được bồi dưỡng và đào tạo bài bản, chuẩn bị cho những đấu trường lớn hơn trong tương lai. Những học sinh xuất sắc nhất sẽ được lựa chọn để tham gia đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia, tiếp tục theo đuổi đam mê và khát vọng của mình trong lĩnh vực Toán học.
Trích dẫn Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2021 sở GD&ĐT Lâm Đồng
Câu 1. (4,0 điểm) Chứng minh rằng $\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right) \geq 9(x y+y z+z x), \forall x, y, z>0$.
Câu 2. (4,0 điểm) Cho hàm số $f(x)=\frac{e^x}{(x+1)^2}$.
a) Chứng minh rằng phương trình $f(x)=x$ có duy nhất một nghiệm trong $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$.
b) Chứng minh dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $u_1=1, u_{n+1}=f\left(u_n\right), \forall n \in \mathbb{N}^*$ có giới hạn.
Câu 3. (4,0 điểm) Cho tam giác $A B C$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $B C$ và $D, E, M$ lần lượt là trung điểm $H B, H C, B C$. Đường tròn $(A B E)$ tâm $I$ cắt $A C$ tại $S$ và đường tròn $(A C D)$ tâm $J$ cắt $A B$ tại $R$.
a) Chứng minh rằng $B C=4 I J$.
b) Trung tuyến đỉnh $H$ của tam giác $A H M$ cắt $R S$ tại $T$, chứng minh rằng các đường thẳng $A T, B S, C R$ đồng quy.
Câu 4. (4,0 điểm) Cho số $a=2019 \cdot 2020 \cdot 2021$ và số nguyên dương $n \geq 3$. Người ta xếp $n$ số nguyên dương nào đó lên một đường tròn thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
(i) Hai số nằm cạnh nhau có tích không chia hết cho $a$.
(ii) Hai số không nằm cạnh nhau có tích chia hết cho $a$.
a) Tìm một bộ các số nguyên dương thỏa mãn cách xếp trên.
b) Tìm giá trị lớn nhất của $n$.
