Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2020 sở GD&ĐT Cao Bằng
Vào một ngày đặc biệt trong tháng 9 năm 2019, Sở Giáo Dục và Đào Tạo tỉnh Cao Bằng đã tổ chức một sự kiện quan trọng: Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán cho năm học 2019 – 2020. Đây là một cơ hội để các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học được phát hiện và tôn vinh.
Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2020 do Sở Giáo Dục và Đào Tạo Cao Bằng soạn thảo gồm một trang với năm bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Thời gian dành cho kỳ thi này là 90 phút, đủ để các học sinh thể hiện khả năng của mình trong môn Toán học.
Sự kiện này không chỉ là một cuộc thi đơn thuần, mà còn là một cơ hội để khuyến khích và nuôi dưỡng niềm đam mê học tập của các em học sinh. Nó thúc đẩy sự cạnh tranh lành mạnh và tạo ra một môi trường học tập năng động, nơi các tài năng trẻ có thể phát triển và được khích lệ theo đuổi ước mơ của mình trong lĩnh vực Toán học.
Trích dẫn Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2020 sở GD&ĐT Cao Bằng
Câu 1 (4,0 điểm).
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^3-y^3-6 x^2+13 x=y+10 \\
\sqrt{2 x}+x^3+2019 x-2020=\sqrt{y+3}
\end{array} .\right.
$$
Câu 2 (4,0 điểm).
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi: $\left\{\begin{array}{l}u_1=1 ; u_2=9 \\ u_{n+2}=10 u_{n+1}-u_n, \forall n \geq 1\end{array}\right.$.
a) Tính giá trị của $A=u_{n+2} \cdot u_n-u_{n+1}^2$.
b) Chứng minh rằng $6 u_n^2-2$ là số chính phương.
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương bất kì, luôn tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3 .
b) Chứng minh rằng trong 13 ước nguyên dương của $6^{2019}$, luôn tồn tại 3 số có tích là lập phương của một số tự nhiên.
Câu 4 (4,0 điểm).
Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có trung điểm các cạnh $A C, A B$ lần lượt là $M$ và $N$. Đường thẳng đi qua $A$ lần lượt vuông góc với $A C, A B$ cắt đường thẳng $B C$ tại $X$ và $Y$. Gọi $X M \cap A B=P$, $Y N \cap A C=Q$. Chứng minh rằng $O, P, Q$ thẳng hàng.
Câu 5 (4,0 điểm).
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:
$$
f\left((x-y)^2\right)=x^2-2 y f(x)+(f(y))^2, \forall x, y \in \mathbb{R}
$$
