Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Bến Tre
Trong nỗ lực tìm kiếm và đào tạo những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bến Tre đã tổ chức một kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh đặc biệt. Mục đích chính của kỳ thi này là lựa chọn những học sinh lớp 12 ưu tú nhất để bồi dưỡng và chuẩn bị cho họ tham gia Kỳ thi Học sinh Giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2018 – 2019.
Đề thi được biên soạn theo hình thức tự luận, bao gồm 4 bài toán khó khăn, yêu cầu các thí sinh vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Thời gian dành cho kỳ thi là 180 phút, cho phép các học sinh có đủ không gian để suy nghĩ và trình bày lời giải một cách chi tiết và toàn diện.
Đáng chú ý, đề thi được cung cấp lời giải chi tiết và thang điểm cụ thể, nhằm đảm bảo tính công bằng và minh bạch trong quá trình chấm thi. Điều này không chỉ giúp các giám khảo đánh giá chính xác năng lực của các thí sinh mà còn tạo điều kiện để các em có thể học hỏi và rút ra bài học quý giá từ quá trình thi cử, giúp họ phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề và tư duy logic.
Cuộc thi tuyển chọn tài năng Toán học này không chỉ là một sân chơi để các học sinh thể hiện kiến thức và kỹ năng của mình, mà còn là cơ hội để tỉnh Bến Tre tìm kiếm những tài năng xuất sắc, đại diện cho vùng đất này trong cuộc đua tài năng toàn quốc. Nó thể hiện nỗ lực và cam kết của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bến Tre trong việc phát triển và nâng cao chất lượng giáo dục, đồng thời khuyến khích và nuôi dưỡng tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học.
Trích dẫn Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Bến Tre
Câu 1 (5 điểm)
Giả sử $\alpha, \beta$ là các nghiệm thực của phương trình $4 x^2 \quad 4 t x \quad 1=0(t \in)$ và $[\alpha ; \beta]$ là tập xác định của hàm số $f(x)=\frac{2 x-t}{x^2+1}$.
a) Đặt $g(t)=\max (x) \quad \operatorname{minf}(x)$. Tìm $g(t)$ theo $t$.
b) Chứng minh rằng: Với $u_1, u_2, u_3 \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)$, nếu $\sin u_1+\sin u_2+\sin u_3=1$ thì $\frac{1}{g\left(\tan u_1\right)}+\frac{1}{g\left(\tan u_2\right)}+\frac{1}{g\left(\tan u_3\right)}A C$. Gọi $\mathrm{O}$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $\mathrm{ABC}, \mathrm{H}$ là giao điểm hai đường cao $\mathrm{BE}$ và $\mathrm{CF}(E \in A C, F \in A B)$. Trên các cạnh $\mathrm{BH}, \mathrm{HF}$ lần lượt lấy các điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ sao cho $B M=C N$. Tính giá trị của $\frac{M H+N H}{O H}$.
Câu 3 (5 điểm)
Dịp hè năm học 2017 – 2018, hiệu trưởng trường $\mathrm{A}$ tổ chức cho $3 \mathrm{n}$ (n là số nguyên dương) học sinh tham gia cắm trại. Mỗi ngày, hiệu trưởng phân công 3 học sinh làm vệ sinh khu vực cắm trại. Khi đợt cắm trại kết thúc, hiệu trưởng nhận thấy rằng: với 2 học sinh bất kỳ có đúng một lần được phân công làm vệ sinh trong cùng một ngày.
a) Khi $n=3$, hãy tìm số cách sắp xếp học sinh thỏa yêu cầu trên. Giải thích.
b) Chứng minh rằng $n$ là số lẻ.