Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia THPT 2018 môn Toán sở GD và ĐT Bắc Ninh
Tại Sở Giáo Dục và Đào Tạo tỉnh Bắc Ninh, đề thi tuyển chọn đội tuyển dự thi Học sinh giỏi Quốc gia bậc Trung học Phổ thông năm 2018 môn Toán đã được thiết kế với cấu trúc gồm 5 bài toán tự luận. Thời gian quy định để các thí sinh hoàn thành bài thi là 180 phút, tương đương với 3 giờ.
Đề thi này có mục đích tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học tại tỉnh Bắc Ninh để tham gia đội tuyển dự thi Học sinh giỏi Quốc gia. Việc thiết kế đề thi dưới hình thức tự luận cho phép các thí sinh thể hiện quá trình suy luận, lập luận và cách giải quyết vấn đề một cách chi tiết và toàn diện.
Đáng chú ý, đề thi này đã được trang bị lời giải chi tiết và thang điểm cụ thể cho từng bài toán. Điều này giúp các thí sinh có thể tự đánh giá bài làm của mình một cách chính xác, đồng thời cũng là tài liệu tham khảo quý giá cho quá trình ôn luyện và rèn luyện kỹ năng giải toán của các em sau này.
Với thời gian làm bài 180 phút, các học sinh sẽ có đủ không gian để suy nghĩ, phân tích và giải quyết từng bài toán một cách cẩn trọng và chính xác. Đây cũng là cơ hội để các em rèn luyện khả năng quản lý thời gian hiệu quả, một kỹ năng quan trọng không chỉ trong học tập mà còn trong cuộc sống và công việc sau này.
Trích dẫn Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia THPT 2018 môn Toán sở GD và ĐT Bắc Ninh
Câu 1. (4,0 điểm)
Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bời: $x_0=2017 ; x_n=-\frac{2017}{n} \sum_{k=0}^{n-1} x_k(n \geq 1)$. Tìm giới hạn:
$$
L=\lim \frac{n^2 \cdot \sum_{k=0}^{2017} 2^k x_k+5}{-2018 n^2+4 n-3} .
$$
Câu 2. (4,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:
$$
x f(x+x y)=x f(x)+f\left(x^2\right) f(y), \forall x, y \in \mathbb{R} .
$$
Câu 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$, có trực tâm $H$. Gọi $M, N, P$ là trung điểm của $B C, C A, A B$. Đường tròn đường kính $A H$ và đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $T \neq A$. $A T$ cắt $B C$ tại $Q$. NP cắt tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$ tại $R$.
a) Chứng minh rằng $Q R$ vuông góc $O H$.
b) Đường thẳng đối xứng với $H M$ qua phân giác trong góc $\widehat{B H C}$ cắt đoạn thẳng $B C$ tại $I$. Gọi $K$ là hình chiếu của $A$ trên $H I$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $M I K$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$.