Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia năm 2018 – 2019 môn Toán sở GD và ĐT Hà Tĩnh
Trong nỗ lực tìm kiếm những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh đã tổ chức một cuộc thi sơ tuyển đặc biệt cho Kỳ thi Học sinh Giỏi Quốc gia năm học 2018 – 2019. Cuộc thi này được thiết kế với mục đích lựa chọn những học sinh ưu tú nhất để đại diện cho tỉnh tham gia vào đấu trường toàn quốc.
Quá trình tuyển chọn diễn ra trong hai ngày liên tiếp, 20 và 21 tháng 9 năm 2018, với hai đề thi riêng biệt. Mỗi đề thi bao gồm bốn bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết các vấn đề phức tạp. Thời gian dành cho mỗi bài thi là 180 phút, cho phép các học sinh có đủ thời gian để suy nghĩ và trình bày lời giải một cách chi tiết.
Đáng chú ý, các đề thi được thiết kế với lời giải chi tiết và thang điểm cụ thể, nhằm đảm bảo tính công bằng và minh bạch trong quá trình chấm thi. Điều này không chỉ giúp các giám khảo đánh giá chính xác năng lực của các thí sinh mà còn tạo điều kiện để các em có thể học hỏi và rút ra bài học quý giá từ quá trình thi cử.
Trích dẫn Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia năm 2018 – 2019 môn Toán sở GD và ĐT Hà Tĩnh
Bài 1. (5,0 điểm) Cho dãy số thực $\left(x_n\right)$ được xác định bởi công thức:
$$
x_1=1 ; x_{n+1}=x_n+\frac{1}{2 x_n} \text { với mọi } n=1,2,3 \ldots
$$
Chứng minh rằng:
a) $n \leq \sqrt{n} x_n<n+\frac{1}{6} H_n$, với mọi $n=1,2,3 \ldots$ trong đó $H_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}$.
b) $\left[9 x_{81}\right]=81$ (kí hiệu $[x]$ là phần nguyên của số thực $x$ ).
Bài 2. (5,0 điểm) Cho số nguyên $a$ và đa thức $P(x)$ hệ số nguyên, hệ số bậc cao nhất là 1 . Ta xây dựng dãy số $\left(a_n\right)$ xác định bởi:
$$
a_0=a, a_{n+1}=P\left(a_n\right) \text { với mọi } n \in N \text {. }
$$
Chứng minh rằng, tồn tại số nguyên dương $m$ thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:
i) $\left|a_m\right|<\left|a_{m+1}\right|<\left|a_{m+2}\right|<\ldots$
ii) $a_m, a_{m+1}, a_{m+2} \ldots$ là dãy tuần hoàn với chu kì $T \leq 2$.
Bài 3. (5,0 điểm) Cho tam giác $A B C$ và hai điểm $M, N$ nằm trên các cạnh $A C, A B$ sao cho $M N$ song song với $B C$. Điểm $P$ di chuyển trên đoạn thẳng $M N$. Lấy các điểm $E, F$ sao cho $E P \perp A C, E C \perp B C, F P \perp A B, F B \perp B C$.
a) Chứng minh rằng đường thẳng $E F$ đi qua một điểm cố định khi $P$ di chuyển.
b) Đường thẳng qua $A$ vuông góc $E F$ cắt $B C$ tại $Q$. Chứng minh rằng trung trực của $B C$ đi qua trung điểm của $P Q$.
