Đề thi chọn đội tuyển dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Phú Thọ
Trong hành trình tìm kiếm những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Phú Thọ đã tổ chức một cuộc thi sơ tuyển đặc biệt nhằm lựa chọn đội tuyển tham dự Kỳ thi Học sinh Giỏi Quốc gia môn Toán lớp 12 năm học 2018 – 2019. Cuộc thi này được thiết kế với mục đích tìm ra những học sinh ưu tú nhất, đại diện cho tỉnh Phú Thọ trong đấu trường toàn quốc.
Quá trình tuyển chọn diễn ra trong hai ngày liên tiếp, 14/09/2018 và 15/09/2018, với hai đề thi riêng biệt. Ngày thi đầu tiên, các thí sinh phải giải quyết bốn bài toán tự luận, trong khi ngày thi thứ hai gồm ba bài toán. Thời gian dành cho mỗi bài thi là 180 phút, cho phép các học sinh có đủ không gian để suy nghĩ và trình bày lời giải một cách chi tiết và toàn diện.
Đáng chú ý, các đề thi được thiết kế với lời giải chi tiết và thang điểm cụ thể, nhằm đảm bảo tính công bằng và minh bạch trong quá trình chấm thi. Điều này không chỉ giúp các giám khảo đánh giá chính xác năng lực của các thí sinh mà còn tạo điều kiện để các em có thể học hỏi và rút ra bài học quý giá từ quá trình thi cử.
Cuộc thi tuyển chọn tài năng Toán học này không chỉ là một sân chơi để các học sinh thể hiện kiến thức và kỹ năng của mình, mà còn là cơ hội để tỉnh Phú Thọ tìm kiếm những tài năng xuất sắc, đại diện cho vùng đất này trong cuộc đua tài năng toàn quốc.
Trích dẫn Đề thi chọn đội tuyển dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Phú Thọ
Bài 1 (5,0 điểm).
Cho dãy số thực $\left(a_n\right)_{n \geq 1}$ xác định bởi: $a_1=a_2=1, a_3=2$ và
$$
a_{n+3}=\frac{a_{n+1} a_{n+2}+7}{a_n}
$$
với mọi số nguyên dương $n$.
a) Chứng minh rằng $a_n$ là số nguyên, với mọi số nguyên dương $n$.
b) Tìm giới hạn $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{2 n+2} a_{2 n}+a_{2 n+1}^2}{a_{2 n} a_{2 n+1}}$.
Bài 2 (5,0 điểm).
Cho tam giác $A B C$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $B C, C A, A B$ lần lượt tại các điểm $D, E, F$. Gọi $M, N$ lần lượt là giao điểm của $A D, C F$ với $(I)$. Chứng minh rằng
$$
\frac{M N \cdot F D}{M F \cdot N D}=3 .
$$
Bài 3 (5,0 điểm).
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$
f\left(f(x)-y^2\right)=f\left(x^2\right)+y^2 f(y)-2 f(x y) \text {, với mọi } x, y \in \mathbb{R} \text {. }
$$
Bài 4 (5,0 điểm).
Một bảng ô vuông $A B C D$ kích thước $2018 \times 2018$ gồm $2018^2$ ô vuông đơn vị, mỗi ô vuông đơn vị được điền bởi một trong ba số $-1,0,1$. Một cách điền số được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo $A C$ được điền số -1 và mỗi cặp ô đối xứng qua $A C$ được điền cùng một số 0 hoặc 1 . Chứng minh rằng với một cách điền số đối xứng bất kì, luôn tồn tại hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là $a_1, a_2, \ldots, a_{2018}$ ở hàng thứ nhất, $b_1, b_2, \ldots, b_{2018}$ ở hàng thứ hai sao cho $S=a_1 b_1+a_2 b_2+\ldots a_{2018} b_{2018}$ là một số chẵn.
