Đề thi chọn đội dự tuyển thi HSG Quốc gia THPT 2018 môn Toán sở GD và ĐT Đồng Nai
Tại Sở Giáo Dục và Đào Tạo tỉnh Đồng Nai, đề thi tuyển chọn đội tuyển dự thi Học sinh giỏi Quốc gia bậc Trung học Phổ thông năm 2018 môn Toán đã được thiết kế với cấu trúc gồm 5 bài toán tự luận. Thời gian quy định để các thí sinh hoàn thành bài thi là 180 phút, tương đương với 3 giờ.
Đề thi này có mục đích tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học tại tỉnh Đồng Nai để tham gia đội tuyển dự thi Học sinh giỏi Quốc gia. Việc thiết kế đề thi dưới hình thức tự luận cho phép các thí sinh thể hiện quá trình suy luận, lập luận và cách giải quyết vấn đề một cách chi tiết và toàn diện.
Với 5 bài toán tự luận, đề thi này đòi hỏi các thí sinh phải có kiến thức vững chắc, khả năng tư duy logic và phân tích vấn đề một cách sâu sắc. Các bài toán được thiết kế nhằm thách thức và kiểm tra khả năng ứng dụng kiến thức của học sinh trong các tình huống phức tạp và đa dạng.
Thời gian làm bài 180 phút cho phép các thí sinh có đủ không gian để suy nghĩ, phân tích và giải quyết từng bài toán một cách cẩn trọng và chính xác. Đây cũng là cơ hội để các em rèn luyện khả năng quản lý thời gian hiệu quả, một kỹ năng quan trọng không chỉ trong học tập mà còn trong cuộc sống và công việc sau này.
Trích dẫn Đề thi chọn đội dự tuyển thi HSG Quốc gia THPT 2018 môn Toán sở GD và ĐT Đồng Nai
Câu 1. (4 điểm)
Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bời $\left\{\begin{array}{l}x_1=a>0 \\ x_{n+1}=x_n+\frac{n}{x_n}, n=1,2,3, \ldots\end{array}\right.$
1) Chứng minh rằng $x_n \geq n$ với mQi $n \geq 2$.
2) Chứng minh rằng dãy $\left(\frac{x_n}{n}\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 2. (4 điểm)
Xác định tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$
f(x f(y)-y f(x))=f(x y)-x y \text { với moi } x, y \in \mathbb{R}
$$
Câu 3. (4 dièm)
Cho tam giác $A B C$. Dựng vế phía ngoài tam giác đó các tam giác cân $A B P$ và $A C Q$ sao cho $A B=A P ; A C=A Q ; \overline{B A P}=\overline{C A Q}=30^{\circ}$. Các đường thẳng $B Q$ và $C P$ cắt nhau tại $R$ Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $B C R$.
1) Tinh số đo góc $\widehat{B O C}$
2) Chứng minh rằng các đường thằng $O A$ và $P Q$ vuông góc với nhau.
Câu 4. (4 diềm)
Cho hai đa thức $P(x)=x^5+5 x^4+5 x^3+5 x^2+1$ và $Q(x)=x^3+5 x^4+3 x^3-5 x^2-1$. Tim tất cá các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại số tự nhiên $x(0 \leq x<p)$ thóa mãn cả $P(x)$ và $Q(x)$ đều chia hết cho $p$ và tìm các số $x$ đó.
