Đề lập đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bình Định
Vào một ngày đầu tháng 11 năm 2020, tại tỉnh Bình Định đã diễn ra một sự kiện quan trọng trong lĩnh vực giáo dục. Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bình Định đã tổ chức kỳ thi lập đội tuyển học sinh giỏi môn Toán cấp Quốc gia cho năm học 2020 – 2021. Đây là một cơ hội để các học sinh xuất sắc trong môn Toán được tỏa sáng và đại diện cho tỉnh nhà tham gia vào kỳ thi danh giá cấp quốc gia.
Đề thi lập đội tuyển năm nay gồm 05 bài toán tự luận, được trình bày trên 01 trang giấy. Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, tương đương với 3 giờ đồng hồ. Các bài toán được thiết kế để thách thức khả năng tư duy logic, sáng tạo và vận dụng kiến thức của các thí sinh. Chỉ những học sinh thực sự xuất sắc mới có thể vượt qua được thử thách này.
Kỳ thi lập đội tuyển học sinh giỏi Toán cấp Quốc gia là một sân chơi quan trọng để phát hiện và bồi dưỡng những tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học. Sự kiện này không chỉ mang ý nghĩa đối với các học sinh tham gia mà còn thể hiện nỗ lực của ngành Giáo dục trong việc nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán tại địa phương.
Trích dẫn Đề lập đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bình Định
Bài 1. (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 y^2-4 x y+3 y-4 x-1=3 \sqrt{\left(y^2-1\right)(y-2 x)} \\
\sqrt{y+1}+\sqrt{y-2 x}=\sqrt{2(y-x+1)}
\end{array}\right.
$$
Bài 2. (3,0 điểm)
Cho đa thức $f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_n x^n$ với hệ thực và $a_n \neq 0$ thỏa mãn đẳng thức $f(x) \cdot f\left(2 x^2\right)=f\left(2 x^3+x\right)$. Tìm số nghiệm thực của đa thức $f(x)$.
Bài 3. (5,0 điểm)
1. Cho số thực $a>1$ và dãy số $\left(x_n\right)$ với $n \in \mathbb{N}^*$ được xác định bởi:
$$
x_1=a ; x_2=1 ; x_{n+2}=x_n-\ln x_n .
$$
Đặt $S_n=\sum_{k=1}^{n-1}(n-k) \ln \sqrt{x_{2 k-1}} \quad(n \geq 2)$. Tính $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{S_n}{n}\right)$.
2. Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3 . Chứng minh rằng $n=\frac{2^{2 p}-1}{3}$ là số tự nhiên lớn hơn 21 và $2^n$ chia $n$ dư 2 .
