Đề lập đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Bình Phước
Trong năm học 2021 – 2022, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bình Phước đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển dự thi Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán. Đề thi gồm 07 bài toán tự luận, được chia thành 02 trang và tổ chức trong hai ngày liên tiếp: 03/01/2022 và 04/01/2022.
Các bài toán trong đề thi được thiết kế nhằm kiểm tra kiến thức toán học nâng cao cũng như khả năng tư duy logic và giải quyết vấn đề của học sinh. Đây là một sân chơi quan trọng để các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học có cơ hội thể hiện năng lực và được tuyển chọn vào đội tuyển tham dự kỳ thi cấp Quốc gia.
Việc tổ chức kỳ thi này không chỉ giúp phát hiện và bồi dưỡng những học sinh xuất sắc, mà còn thúc đẩy phong trào dạy và học Toán tại các trường trên địa bàn tỉnh Bình Phước. Đây là một hoạt động thiết thực nhằm nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu cầu phát triển nguồn nhân lực chất lượng cao trong tương lai.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề lập đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Bình Phước
Câu 1. (5.0 điểm) Cho dãy số $\left(u_n\right)_{n=1}^{+\infty}$ xác định bởi
$$
\left\{\begin{array}{l}
u_1, u_2>0 \\
u_{n+1}=\frac{n+1}{2 n} \sqrt{u_n+2}+\frac{n-1}{3 n} u_{n-1}+\frac{1}{3}, \forall n \geq 2 .
\end{array}\right.
$$
Chứng minh $\left(u_n\right)_{n=1}^{+\infty}$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 2. (5.0 điểm)
a) Cho hàm số $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn: $f(x+f(x)+y)=x+f(x)+f(y), \forall x, y \in \mathbb{Z}$.
Xét tập hợp $A=\{x \in \mathbb{Z} \mid f(x+y)=f(y)+x, \forall y \in \mathbb{Z}\}$. Chứng minh rằng tập $A$ có tính chất: nếu $x_1 \in A$ và $x_2 \in A$ thì $x_1-x_2 \in A$.
b) Hãy chỉ ra ít nhất hai hàm số $f: Q \rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn $f\left(\frac{5}{6}\right)=\frac{1}{6}$ và
$$
f(x+f(x)+y)=x+f(x)+f(y), \forall x, y \in \mathbb{Q} .
$$
c) Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn
$$
f(x+f(x)+y)=x+f(x)+f(y), \forall x, y \in \mathbb{Z} .
$$
Câu 3. (5.0 điểm) Tìm số nguyên dương $m$ lớn nhất sao cho với mọi $k \in\{1,2, \ldots, m\}$ và mọi bộ 10 số nguyên dương $a_1, a_2, \ldots, a_{10}$ thì luôn tồn tại cách chọn các số nguyên $c_1, c_2, \ldots, c_{10} \in\{-1,0,1\}$ (không đồng thời bằng 0 ) để cho $c_1 a_1+c_2 a_2+\cdots+c_{10} a_{10}$ chia hết cho $k$.
