Đề kiểm tra đội tuyển HSG lần 1 Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT Vĩnh Lộc – Thanh Hóa
Trong nỗ lực thúc đẩy phong trào học tập và rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề, hai trường THPT Vĩnh Lộc và THPT Thạch Thành tại tỉnh Thanh Hóa đã phối hợp tổ chức một kỳ thi kiểm tra kiến thức dành cho đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 12 vào ngày 08/11/2020. Sự kiện này đánh dấu lần thứ nhất trong năm học 2020 – 2021 mà các học sinh xuất sắc trong lĩnh vực Toán học được thử thách.
Đề thi gồm 05 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết các vấn đề phức tạp. Thời gian làm bài kéo dài trong 180 phút, tạo ra một môi trường căng thẳng và thử thách khả năng tập trung cao độ của các học sinh. Đáng chú ý, đề thi được cung cấp kèm theo lời giải chi tiết, giúp các em có thể tự đánh giá và rút ra bài học quý báu sau khi hoàn thành bài thi.
Sự kiện này không chỉ là một cơ hội để các học sinh thể hiện năng lực mà còn thúc đẩy tinh thần hợp tác và giao lưu học thuật giữa hai trường, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện tại địa phương.
Trích dẫn Đề kiểm tra đội tuyển HSG lần 1 Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT Vĩnh Lộc – Thanh Hóa
Câu I(4 điểm).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=f(x)=x^3-3 x-2$
2. Tìm giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\sqrt[3]{m-x}+\sqrt{2 x-3}-2$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Câu II(4 điểm).
1. Giải phương trình lượng giác: $\cos 2 x+\sqrt{3}(1+\sin x)=\frac{2 \cos x+2 \sin 2 x-2 \sin x-1}{2 \cos x-1}$
2. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3 x y\left(1+\sqrt{9 y^2+1}\right)=\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}} \\ 4^{27 x^2 y^2-2 x^2}=9 y^2+4 x-4\end{array}\right.$
Câu III(4 điểm).
1. Bốn người khách cùng ra khỏi quán và bỏ quên mũ. Chủ quán không biết rõ chủ của những chiếc mũ đó nên gửi trả cho họ một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để cả bốn người cùng được trả sai mũ.
2. Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức $S(t)=A \cdot e^{r t}$. Trong đó, $A$ là số lượng vi khuẩn ban đầu, $S(t)$ là số lượng vi khuẩn có được sau thời gian $t$ (phút), $r>0$ là tỷ lệ tăng trưởng không đổi theo thời gian và $t$ là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có 500 con và sau 5 giờ có 1500 con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt 121500 con ?
