Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT Quế Võ 1 – Bắc Ninh
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2020 – 2021 của trường THPT Quế Võ 1, tỉnh Bắc Ninh gồm 6 bài toán tự luận, được thiết kế để kiểm tra kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh. Thời gian làm bài là 150 phút, đủ để các thí sinh thể hiện khả năng suy luận logic và vận dụng kiến thức toán học một cách sâu rộng.
Đề thi bao gồm các bài toán đa dạng, từ lý thuyết đến ứng dụng thực tế, đòi hỏi học sinh phải vận dụng tổng hợp kiến thức từ nhiều lĩnh vực như: Đại số, Giải tích, Hình học, Xác suất – Thống kê. Các bài toán được thiết kế với mức độ khó tăng dần, khiến học sinh phải nỗ lực hết mình để hoàn thành.
Điểm đáng chú ý là đề thi có lời giải chi tiết, giúp học sinh có thể tự đối chiếu, kiểm tra và rút ra bài học kinh nghiệm sau khi hoàn thành bài thi. Đây là một cơ hội quý giá để các học sinh giỏi Toán được thử thách và phát triển năng lực của mình.
Trích dẫn Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT Quế Võ 1 – Bắc Ninh
Câu 2: Tập tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\ln (\cos x+2)-m x+1$ đồng biến trên $R$ là:
A. $\left[-\frac{1}{3} ;+\infty\right)$.
B. $\left(-\infty ;-\frac{1}{\sqrt{3}}\right]$
C. $\left(-\infty ;-\frac{1}{3}\right]$.
D. $\left[-\frac{1}{\sqrt{3}} ;+\infty\right)$.
Câu 3: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên tập hợp $R$. Biết $f(3)=2$ và $\int_0^1 x f(3 x) \mathrm{d} x=5$. Giá trị của $\int_0^3 x^2 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ bằng
A. 18 .
B. 45 .
C. 25 .
D. -72 .
Câu 4: Trong các hàm số sau $f(x)=\tan ^2 x+2$
(II) $f(x)=\frac{2}{\cos ^2 x}$
(III) $f(x)=\tan ^2 x+1$
Hàm số nào có nguyên hàm là hàm số $g(x)=\tan x$
A. (II) và $(I I I)$
B. Chỉ (II)
C. Chỉ (III)
D. $(I) ;(I I) ;(I I I)$
Câu 5: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $\left\{\begin{array}{l}u_1=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ u_n=\frac{2 u_{n-1}}{1-u_{n-1}^2}, \forall n \geq 2\end{array}\right.$. Tính $u_{21}$.
A. $u_{21}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
B. $u_{21}=\sqrt{3}$
C. $u_{21}=-\sqrt{3}$
D. $u_{21}=1$
Câu 6: Cho lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có cạnh bên bằng cạnh đáy. Đường thẳng $M N$ $\left(M \in A^{\prime} C ; N \in B C^{\prime}\right)$ là đường vuông góc chung của $A^{\prime} C$ và $B C^{\prime}$. Tỷ số $\frac{N B}{N C^{\prime}}$ bằng
A. $\frac{3}{2}$.
B. 1 .
C. $\frac{2}{3}$.
D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$.
Câu 7: Gọi $\mathrm{S}$ là tập các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 2020 của tham số $m$ để phương trình $2^{x-1}-m=\log _4(x+2 m)$ có nghiệm . Tính số phần tử của $\mathrm{S}$
A. 2021 .
B. 1020 .
C. 2020 .
D. 2019 .
Câu 8: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $R$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\int_{-1}^1 f(x) d x=2 \int_0^1 f(x) d x$.
B. $\int_0^1 f(x) d x=\frac{1}{2} \int_0^2 f(x) d x$.
C. $\int_{-1}^1 f(x) d x=0$.
D. $\int_0^1 f(x) d x=\int_0^1 f(1-x) d x$.
