Đề khảo sát đội tuyển HSGQG Toán năm 2022 – 2023 chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên
Trong bối cảnh kỳ thi học sinh giỏi quốc gia (HSGQG) môn Toán năm học 2022 – 2023 đang đến gần, trường THPT chuyên Lê Quý Đôn tỉnh Điện Biên đã tổ chức một kỳ thi khảo sát đặc biệt nhằm lựa chọn đội tuyển học sinh xuất sắc nhất tham dự kỳ thi quan trọng này. Đề khảo sát đội tuyển HSGQG Toán năm 2022 – 2023 chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên đã diễn ra vào thứ Sáu ngày 26/08/2022 với sự tham gia của các học sinh giỏi môn Toán được lựa chọn từ các trường THPT trên địa bàn tỉnh Điện Biên và các tỉnh lân cận.
Nội dung của đề khảo sát bao gồm các câu hỏi về kiến thức Toán lớp 12, với mức độ khó tương đương với đề thi chính thức của kỳ thi HSGQG. Đề thi được ra theo hình thức tự luận, yêu cầu các thí sinh vận dụng tối đa kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách sáng tạo và logic. Kết quả của kỳ thi khảo sát này sẽ là cơ sở quan trọng để ban giám khảo lựa chọn ra đội tuyển học sinh giỏi môn Toán đại diện cho tỉnh Điện Biên tham gia kỳ thi HSGQG năm học 2022 – 2023.
Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn là một trong những trường có truyền thống đào tạo học sinh giỏi môn Toán tại khu vực Tây Bắc, nên đề khảo sát của nhà trường thường có chất lượng cao và được nhiều học sinh quan tâm. Sau khi kỳ thi khảo sát kết thúc, đáp án và lời giải chi tiết sẽ được cập nhật trên các trang web giáo dục để học sinh tham khảo, giúp các em có thêm kiến thức và kinh nghiệm quý báu trong việc chuẩn bị cho kỳ thi HSGQG sắp tới.
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề khảo sát đội tuyển HSGQG Toán năm 2022 – 2023 chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên
Câu 1. a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y+1} \\ x^2+x+12 \sqrt{y+1}=36\end{array}\right.$.
b) Cho $\left(a_n\right)$ là một dãy các số thực thỏa mãn $a_0=1, a_1=2$ và $a_{n-1} a_{n+1}-a_n^2=2022$ với mọi $n \geq 1$. Đặt $b_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k a_{k+1}}$. Chứng minh rằng dãy $\left(b_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và xác định giới hạn này.
Câu 2: Cho tam giác nhọn $A B C$ không cân tại $A$, có trực tâm $H$. Từ $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $A C$, cắt đường tròn đường kính $A C$ tại hai điểm $D, E$ ( $D$ nằm giữa $E$ và $B$ ) đồng thời cắt đường thẳng $A C$ tại $K$. Từ $C$ kẻ đường thẳng vuông góc với $A B$, cắt đường tròn đường kính $A B$ tại hai điểm $F, G$ ( $F$ nằm giữa $C$ và $G$ ) đồng thời cắt đường thẳng $A B$ tại $L$.
a) Chứng minh rằng bốn điểm $D, F, E, G$ cùng nằm trên một đường tròn.
b) Giả sử $K L \cap B C=I$. Từ $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $A I$ và cắt đường thẳng $L C$ tại $J$. Chứng minh rằng $H$ là trung diềm đoạn thẳng $C J$.
Câu 3: Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:
$$
f(f(x-y))=f(x) f(y)+f(x)-f(y)-x y, \forall x, y \in R
$$
