Đề HSG Toán cấp trường năm 2023 – 2024 trường chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương
Kính gửi quý thầy cô và các “thiên tài Toán học” đầy triển vọng,
Hdgmvietnam.org xin được “bật mí” một tin “sốt dẻo” – đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán cấp trường năm học 2023 – 2024 của trường THPT chuyên Nguyễn Trãi, tỉnh Hải Dương. Đây chính là “bệ phóng” hoàn hảo để các em “tung cánh” và “tỏa sáng” trên bầu trời tri thức của nhà trường.
Hãy “khoác lên mình bộ giáp” kiến thức vững chắc và sẵn sàng “ra quân” vào ngày 04/09/2023. Đây là thời khắc để các em “thể hiện” tài năng, “vượt qua chính mình” và “chứng tỏ” bản lĩnh của một “chiến binh” Toán học thực thụ. Hãy tự tin “tỏa sáng” và “giành lấy” suất trong đội tuyển mạnh nhất của trường.
Quý thầy cô hãy là “người đồng hành” tận tâm, truyền “cảm hứng” và “kinh nghiệm quý báu” cho các em. Sự dìu dắt “chuyên sâu” và tình yêu “bao la” của thầy cô dành cho Toán học sẽ là “nguồn động lực” giúp các em “chinh phục” mọi đỉnh cao.
Hdgmvietnam.org “vinh dự” được sát cánh cùng quý vị trong “hành trình” này. Chúng tôi không chỉ mang đến đề thi “nóng hổi” mà còn cả đáp án và lời giải chi tiết “chuẩn không cần chỉnh”. Tất cả nhằm giúp quý vị có sự chuẩn bị “chu đáo” cho kỳ thi sắp tới.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh sẽ có một quá trình ôn luyện “rực lửa” và gặt hái “mùa vàng” thành công trong kỳ thi này. Hãy biến những ngày tháng “đắm mình” trong Toán học trở thành “dấu ấn” đáng nhớ trong “cuốn nhật ký” tri thức của mình.
Cùng nhau “chinh phục” ước mơ và trở thành “ngôi sao sáng” trên bầu trời Toán học của trường THPT chuyên Nguyễn Trãi!
Trân trọng,
Hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề HSG Toán cấp trường năm 2023 – 2024 trường chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương
Câu 1. (5,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho với mọi số thực $x ; y$, ta có:
$$
f(f(x)+y)+f(x) f(f(y))=x f(y)+x+y
$$
Câu 2. (5,0 điểm) Cho tam giác $A B C$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $B C, C A, A B$ tại $D, E, F . H$ là hình chiếu của $A$ trên $B C$. $N$ là trung điểm cuả $A H$. Đường thẳng qua $D, N$ cắt $C A, A B$ lần lượt tại $J, S ; B J$ cắt $C S$ tại $P$. Các đường thẳng $D A, D P$ lần lượt cắt $(I)$ tại $G, L$. Gọi $E F$ cắt $B C$ tại $X$.
a) Chứng minh rằng $A, P, X$ thẳng hàng.
b) Gọi $K, T$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $D I, D N$ và $(I)$. Chứng minh: $K, T, X$ thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng bốn điểm $B, C, G, L$ cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 3. (5,0 điểm) Cho số nguyên dương $n$ và $p$ là số nguyên tố lẻ. Giả sử $n=q p+r$ với $0 \leq r \leq p-1$ và $q$ nguyên dương. Đặt. $S_n=\sum_{k=0}^{q p}(-1)^k . C_{r+k}^r$
a) Khi $p=3$, chỉ ra một giá trị $n$ nguyên dương lớn hơn 5 sao cho $S_n$ chia hết cho $p$.
b) Chứng minh rằng nếu $p$ là ước của $S_n$ thì $q$ là số lẻ.
