Đề HSG Toán cấp trường lần 1 năm 2019 – 2020 trường Tiên Du 1 – Bắc Ninh
Trong nỗ lực tuyển chọn những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, trường Trung Học Phổ Thông Tiên Du số 1, tỉnh Bắc Ninh đã tổ chức một sự kiện quan trọng: Kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán cấp trường lần thứ nhất năm học 2019 – 2020. Sự kiện này nhằm mục đích xác định và tuyển chọn những học sinh lớp 12 có năng lực vượt trội trong môn Toán để tham gia đội tuyển học sinh giỏi Toán của nhà trường.
Đề thi được sử dụng trong kỳ thi này mang mã số 132, bao gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm, được trình bày trên 06 trang. Thời gian dành cho các thí sinh để hoàn thành bài thi là 90 phút, đủ để thể hiện kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề của mình trong lĩnh vực Toán học.
Kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán cấp trường lần thứ nhất năm học 2019 – 2020 tại trường THPT Tiên Du số 1, tỉnh Bắc Ninh đã tạo ra một sân chơi công bằng và thách thức cho các học sinh xuất sắc. Qua đó, nhà trường có thể tìm ra những tài năng Toán học ưu tú nhất để đào tạo và phát triển, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Toán học tại địa phương.
Trích dẫn Đề HSG Toán cấp trường lần 1 năm 2019 – 2020 trường Tiên Du 1 – Bắc Ninh
Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có $A B=a, A D=a \sqrt{2}$, mặt phẳng $\left(A B C^{\prime} D^{\prime}\right)$ tạo với mặt phẳng đáy góc $45^{\circ}$. Thể tích khối hộp chữ nhật đó là
A. $2 a^3$.
B. $\frac{2 a^3}{3}$.
C. $\sqrt{2} a^3$.
D. $\frac{\sqrt{2} a^3}{3}$.
Câu 2: Biết hàm số $f(x)=x^3+a x^2+b x+c$ đạt cực tiểu tại $x=1$ và $f(1)=-3$, đồng thời đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 . Tính giá trị của $f(3)$.
A. $f(3)=27$.
B. $f(3)=-29$.
C. $f(3)=29$.
D. $f(3)=81$.
Câu 3: Cho hàm số $f(x)=\frac{\ln \left(x^2+1\right)}{x}$ thỏa mãn $f^{\prime}(1)=a \ln 2+b$ với $a, b \in \mathbb{Z}$. Giá trị của $a+b$ bằng
A. -1 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 0 .
Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực $m$ thuộc đoạn $[-2019 ; 2019$ ] để phương trình $\sqrt{3+x}(2 \sqrt{3+x}-m)+\sqrt{1-x}(5 \sqrt{1-x}+2 m)=4 \sqrt{-x^2-2 x+3}$ có nghiệm thực?
A. 2019 .
B. 4032 .
C. 4039 .
D. 4033 .
Câu 6: Cho hàm số $y=x^3+2 x^2+x+1$ có đồ thị $(\mathrm{C})$ và điểm $\mathrm{M}$ thuộc đồ thị $(\mathrm{C})$ có hoành độ $a$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $a \in \mathbb{Z} \cap[-2020 ; 2020]$ để tiếp tuyến tại $\mathrm{M}$ của $(\mathrm{C})$ vuông góc với một tiếp tuyến khác của $(\mathrm{C})$. Tìm số phần tử của $S$
A. 4038
B. 4040 .
C. 4039 .
D. 2020 .
Câu 7: Cho hình chóp $S . A B C$ có thể tích bằng 1. Trên cạnh $B C$ lấy điểm $E$ sao cho $B E=2 E C$. Tính thể tích $V$ của khối tứ diện $S A E B$.
A. $V=\frac{4}{3}$.
B. $V=\frac{2}{3}$.
C. $V=\frac{1}{6}$.
D. $V=\frac{1}{3}$.
Câu 8: Gọi $M, m$ tương ứng là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{2 \cos x+1}{\cos x-2}$. Khi đó ta có
A. $M+m=0$.
B. $M+9 m=0$.
C. $9 M+m=0$.
D. $9 M-m=0$.