Đề HSG Toán 12 và lập đội tuyển thi HSG QG năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Hà Nam
Kính gửi quý thầy cô và các “nhà toán học” đầy triển vọng,
Hdgmvietnam.org xin được “công bố” một tin vui dành riêng cho quý vị – đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 12 và thành lập đội tuyển tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT năm học 2023 – 2024 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Nam. Đây chính là “cơ hội vàng” để các em “khẳng định” tài năng và “tỏa sáng” trên đấu trường trí tuệ cấp quốc gia.
Hãy “sắn tay áo” và “lao vào cuộc chiến” với một tinh thần “quyết tâm” và “bất khuất”. Đây là thời điểm để các em “chứng tỏ” bản thân và “vượt qua giới hạn” của chính mình. Hãy tự tin “thể hiện” những gì đã học và “giành lấy” vị trí trong đội tuyển danh giá.
Quý thầy cô hãy là “người dẫn đường” tận tâm, truyền “nhiệt huyết” và “kinh nghiệm quý báu” cho các em. Sự hướng dẫn “tâm huyết” và “sâu sắc” của thầy cô sẽ là “chìa khóa” giúp các em “mở cánh cửa” dẫn tới thành công.
Hdgmvietnam.org “vinh dự” được sát cánh cùng quý vị trong “hành trình” này. Chúng tôi cam kết mang đến những thông tin “mới nhất” và tài liệu “giá trị nhất” giúp quý vị có sự chuẩn bị “toàn diện” cho kỳ thi sắp tới.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh sẽ có một quá trình ôn luyện “hăng say” và gặt hái “thành quả” rực rỡ trong kỳ thi này. Hãy biến những ngày tháng “miệt mài” với Toán học trở thành “dấu ấn” đáng nhớ trong “cuốn nhật ký” tri thức của mình.
Cùng nhau “chinh phục đỉnh cao” và trở thành “ngôi sao sáng” trên bầu trời Toán học!
Trân trọng,
Hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề HSG Toán 12 và lập đội tuyển thi HSG QG năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Hà Nam
Bài 1. (3,0 điểm) Cho dãy số $\left(x_n\right),(n=0,1,2, \ldots)$ được xác định bởi
$$
x_0=-2, x_n=\frac{1-\sqrt{1-4 x_{n-1}}}{2}
$$
Đặt $u_n=n x_n$ và $v_n=\left(1+x_0^2\right) \cdot\left(1+x_1^2\right) \ldots\left(1+x_n^2\right)$. Chứng minh các dãy số $\left(u_n\right)$ và $\left(v_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.
Bài 2.(3,0 điểm) Hãy tìm tất cả các hàm số $f: E \rightarrow R$ thỏa mãn đẳng thức
$$
f\left(x . f(y)+x^2\right)=x y+(f(x))^2 \quad \forall x, y \in R
$$
Bài 3.(4,0 điểm) Cho tam giác $A B C$ có ba góc nhọn ,không cân; $(\omega)$ là đường tròn Euler của tam giác $A B C$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A, B, C$ trên các cạnh $B C, C A, A B$. Kẻ tiếp tuyến $t_A$ của $(\omega)$ tại $D$. Tiếp tuyến $t_1$ cắt đường tròn đường kính $A B$ tại $K_A\left(K_A \neq D\right)$. Đường thẳng $D F$ cắt $A K_A, B K_1$ lần lượt tại $L_A, M_A$. Đường thẳng $t_A$ cắt $C M_1$ tại $N_A$. Các điểm $K_B, L_B, M_B, N_B$ và $K_C, L_C, M_C, N_C$ được định nghĩa tương tự.
a/Chứng minh đường thẳng $A K_1$ song song với đường thằng $C M_1$.
$\mathrm{b} /$ Chứng minh các đường thẳng $L_A N_A, L_B N_B$ và $L_C N_C$ đồng quy.
