Đề học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Ninh Bình
Kính gửi quý thầy cô và các “nhà toán học tương lai” đầy triển vọng,
Hdgmvietnam.org xin hân hạnh mang đến cho quý vị một “món quà tri thức” đặc biệt – đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán THPT cấp tỉnh năm học 2023 – 2024 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Ninh Bình. Đây chắc chắn sẽ là “chìa khóa vàng” giúp các em mở ra cánh cửa dẫn tới thành công.
Hãy chuẩn bị tinh thần cho một “cuộc phiêu lưu” kéo dài hai ngày 06/10/2023 và 07/10/2023. Đây sẽ là khoảng thời gian các em “thỏa sức” thể hiện tài năng và niềm đam mê với Toán học. Hãy tự tin “bước vào cuộc chơi” và tạo nên những “kỳ tích” của riêng mình.
Quý thầy cô hãy là “người lái đò” tận tâm, dìu dắt các em vượt qua “ghềnh thác” kiến thức. Sự chỉ bảo sâu sắc và tình yêu bao la của thầy cô dành cho môn Toán sẽ truyền cảm hứng cho các em “chinh phục” mọi đỉnh cao.
Hdgmvietnam.org tự hào được đồng hành cùng quý vị trên “hành trình” này. Chúng tôi sẽ không ngừng cập nhật những thông tin “nóng hổi” và chia sẻ những tài liệu “độc quyền” giúp quý vị có sự chuẩn bị chu đáo nhất.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh sẽ có một quá trình ôn luyện “rực lửa” và gặt hái “mùa vàng” tri thức trong kỳ thi sắp tới. Hãy biến những ngày tháng này trở thành “mốc son” chói lọi trên con đường học tập của mình.
Cùng nhau “trở thành huyền thoại”!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Ninh Bình
Bài 1 (4,0 điểm). Giải phương trình $\left(x^2-10 x+21\right) \sqrt{x-3}=x^3-11 x^2+34 x-27 \quad(x \in \mathbb{R})$.
Bài 2 (5,0 điểm). Cho dãy số $\left(x_n\right)$ được xác định như sau: $\left\{\begin{array}{l}x_1=x_2=a \\ x_{n+2}=x_{n+1}+2 \cdot \frac{\sqrt{x_n}}{(n+1)^3}, \forall n \geq 1\end{array}\right.$ trong đó $a$ là một số thực dương cho trước.
a) Chứng minh rằng dãy $\left(x_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.
b) Giả sử $\lim _{n \rightarrow+\infty} x_n=c$. Tìm số thực $\alpha$ để dãy $\left(y_n\right)$ xác định bởi $y_n=n^\alpha\left(c-x_n\right), \forall n \geq 1$ có giới hạn hữu hạn khác 0 .
Bài 3 (6,0 điểm). Cho tam giác $A B C$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ có các đường cao $A D, B E, C F$ đồng quy tại $H$. Gọi $T$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $C H$ với đường tròn $(O) ; I$ là giao điểm của $A T$ với $B C$; $J$ là giao điểm của $A D$ với $E F$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $H C, H E$. Lấy điểm $P$ trên $E F$ sao cho $M P$ song song với $D E$, điểm $Q$ trên $B J$ sao cho $E Q$ song song với $N P$.
a) Chứng minh rằng ba điểm $I, E, Q$ thẳng hàng.
b) Gọi $X$ là giao điểm của $B H$ với $C O, Y$ là giao điểm của $C H$ với $B O, Z$ là trực tâm tam giác $D E F$. Chứng minh rằng $O Z$ chia đôi đoạn $X Y$.
