Đề học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Bình Dương
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “cuộc phiêu lưu” trí tuệ đầy hấp dẫn – đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán bậc THPT cấp tỉnh năm học 2022 – 2023 của sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bình Dương. Đây chắc chắn sẽ là một “hành trình” đầy thử thách và bất ngờ cho những “nhà thám hiểm” đam mê Toán học.
“Cuộc phiêu lưu” này đã chính thức bắt đầu vào thứ Năm, ngày 20 tháng 10 năm 2022. Hãy “đóng gói hành trang”, “mang theo la bàn” và sẵn sàng “lên đường” để khám phá những “vùng đất” tri thức mới lạ. Chúng tôi tin rằng, với sự “dũng cảm” và niềm đam mê Toán học, các em sẽ “chinh phục” được những “đỉnh cao” tri thức và gặt hái nhiều “kho báu” trong “cuộc phiêu lưu” này.
Hãy coi đây như một cơ hội để các em thử sức, khám phá “kho báu” tiềm ẩn trong bản thân và trở thành những “nhà thám hiểm” Toán học đầy bản lĩnh. Chúng tôi tin rằng, đề thi này sẽ là một “cuộc phiêu lưu” bổ ích và lý thú, giúp các em “rèn luyện” kỹ năng và nâng cao trình độ giải Toán.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “tinh thần phiêu lưu”, không ngừng “thám hiểm” và “chinh phục” những chân trời mới trong thế giới Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Bình Dương
Câu 1 (4.0 điểm)
a). Giải phương trình: $5 x^2+\frac{3}{2} x-3=(1+3 x) \sqrt{2 x^2-1}$.
b). Giải hệ phương trình: $x^2+y^2+z^2=y z+\frac{8}{x}=2 z x-\frac{2}{y}=3 x y+\frac{18}{z}$.
Câu 2 (4.0 đ̛iểm)
a) Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
$$
a b c \geq(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
$$
b) Cho $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$$
9 a b c+1 \geq 4(a b+b c+c a)
$$
Câu 3 (4.0 điểm)
Cho dãy số $\left(a_n\right)$ được xác định bởi $a_1=a>1$ và $a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1}, n \in \mathbb{N}^*$.
a) Tìm giới hạn của dãy số $\left(a_n\right)$.
b) Với $n \in \mathbb{N}^*$, đặt $S_n=\sum_{k=1}^n a_k$. Hãy tìm giới hạn của dãy số $\left(S_n\right)$.