Đề học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT An Giang
Trong một ngày đầu tháng Tư đầy nắng và gió, tỉnh An Giang đã tổ chức một sự kiện quan trọng dành cho các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học. Vào Thứ Bảy, ngày 10/04/2021, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh An Giang đã tổ chức Kỳ thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán cho năm học 2020 – 2021.
Đề thi năm nay gồm 06 bài toán tự luận, được trình bày trên một trang giấy duy nhất. Các thí sinh phải vận dụng tối đa kiến thức và kỹ năng của mình để giải quyết những câu hỏi thách thức này trong thời gian 180 phút.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi để các học sinh thể hiện tài năng, mà còn là cơ hội để họ được ghi nhận và khích lệ tiếp tục theo đuổi con đường học vấn. Những học sinh xuất sắc nhất sẽ được tuyển chọn để tham gia các kỳ thi cấp cao hơn, mở ra nhiều cơ hội phát triển bản thân trong tương lai.
Với sự chuẩn bị kỹ lưỡng và quyết tâm cao độ, các thí sinh đã sẵn sàng chinh phục những thử thách mới, khẳng định vị trí của mình trong đội ngũ những tài năng trẻ xuất sắc nhất tỉnh An Giang.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT An Giang
Câu 1. (4,0 điểm) Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[0 ;+\infty)$ đồng thời thỏa mãn
$$
f(x+y)=f(x) . f(y) ; f(1)=\frac{1}{2}
$$
a. Tính $f(0) ; f(2)$ và $f(3)$.
b. Đặt $S_n=f(1)+f(2)+\cdots+f(n) ;(n \in \mathbb{N})$. Tính $\lim _{n \rightarrow+\infty} S_n$.
Câu 2. (4,0 điểm) Tìm $m$ để hệ phương trình sau đây có đúng một nghiệm
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^3=y^2+7 x^2-m x \\
y^3=x^2+7 y^2-m y
\end{array}\right.
$$
Câu 3. (4,0 điểm) Một mẫu vé vào cửa có số sê ri gồm 5 chữ số từ 00000 đến 99999 . Khi vào cửa khách hàng được khuyến mãi một thức uống miễn phí nếu vé đó có hai chữ số liền kề trong 5 chữ số có hiệu bằng 5 (ví dụ 01384). Hỏi có bao nhiêu vé có số sê ri mang đặc điểm này.
Câu 4. (4,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ cạnh đáy bằng $a$. Lấy điểm $B_1$ thuộc $B B^{\prime}$ điểm $C_1$ thuộc $C C^{\prime}$. Đặt $B B_1=x ; C C_1=y$.
a. Chứng minh rằng tam giác $A B_1 C_1$ vuông tại $B_1$ khi $2 x y=2 x^2+a^2$.
b. Giả sử tam giác $A B_1 C_1$ là tam giác thường và $B_1$ là trung điểm của $B B^{\prime}$ và $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(A B C)$ và $\left(A B_1 C_1\right)$, cho $y=2 x$. Tính diện tích tam giác $A B_1 C_1$ và độ dài cạnh bên của lăng trụ đã cho theo $a$ và $\alpha$.
Câu 5. (2,0 điểm) Cho $a^2+b^2+c^2=4 ; x \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $y=a+b \sqrt{2} \sin x+c \sin 2 x$.