Đề học sinh giỏi Toán THPT cấp thành phố năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Cần Thơ
Trong năm học 2020 – 2021, ngày 12 tháng 3 năm 2021 đánh dấu một sự kiện quan trọng tại thành phố Cần Thơ – kỳ thi chọn học sinh giỏi THPT cấp thành phố môn Toán. Sự kiện này do Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố tổ chức, nhằm tôn vinh những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học.
Đề thi được biên soạn với hình thức tự luận 100%, gồm 7 bài toán được trình bày trên một trang giấy duy nhất. Thời gian dành cho các thí sinh để hoàn thành bài thi là 180 phút, đủ để thể hiện sự thông minh, kiên trì và kỹ năng giải quyết vấn đề của mình.
Với cấu trúc đề thi này, các học sinh giỏi Toán sẽ có cơ hội thể hiện tư duy logic, khả năng tư duy sáng tạo và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt. Đây không chỉ là một cuộc thi kiểm tra kiến thức, mà còn là một sân chơi để các tài năng trẻ thể hiện bản lĩnh và đam mê với môn Toán.
Kỳ thi chọn học sinh giỏi THPT cấp thành phố môn Toán năm học 2020 – 2021 hứa hẹn sẽ là một sân chơi đầy thử thách và hấp dẫn, quy tụ những tài năng xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học tại Cần Thơ.
Trích dẫn Đề học sinh giỏi Toán THPT cấp thành phố năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Cần Thơ
Câu 1. (4,0 điểm) Cho hàm số $y=\frac{4}{3} x^3-(2 m+1) x^2+2(m+2) x-1$. Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(1 ;+\infty)$.
Câu 2. (3,0 điểm) Cô An dự định xây một cái bể có thể tích bằng $18 \mathrm{~m}^3$ dùng để dự trữ nước mưa. Biết bể này không có nắp và có dạng một khối lăng trụ lục giác đều. Hỏi cô An phải thiết kế cạnh đáy của bể trên dài bao nhiêu mét để tổng diện tích phần phải xây là nhỏ nhất?
Câu 3. (4,0 điểm) Giải các phương trình sau trên tập số thực:
a) $\cos x+\sin x \sin 2 x+\sqrt{3} \sin 3 x=2\left(1+\cos ^3 x\right)$.
b) $x \sqrt{3 x-2}+\log _3 \frac{x \sqrt{3 x-2}-1}{(x-1)^2}=3 x^2-6 x+5$.
Câu 4. (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông cân tại $A, A B=a$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A B$ và $B C$. Hình chiếu vuông góc của $A^{\prime}$ trên mặt phẳng $(A B C)$ trùng với điểm $O$ sao cho $\overrightarrow{A O}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A N}$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left(A B B^{\prime} A^{\prime}\right)$ và $(A B C)$ bằng $60^{\circ}$.
a) Tính thể tích khối lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.
b) Tính khoảng cách từ điểm $N$ đến mặt phẳng $\left(A^{\prime} C M\right)$.
Câu 5. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho tam giác $A B C$ (không có góc tù) nội tiếp đường tròn tâm $I$. Gọi $D$ là chân đường phân giác trong góc $A$. Đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với đường thẳng $A I$ cắt đường thẳng $A C$ tại điểm $E$. Tìm tọa độ các điểm $A$ và $C$, biết $B(5 ; 0), I\left(-\frac{1}{2} ;-1\right), E(-1 ; 0)$ và $A$ có tung độ âm.
