Đề học sinh giỏi Toán 12 lần 1 năm 2022 – 2023 cụm liên trường THPT – Nghệ An
Với mong muốn đóng góp cho cộng đồng giáo dục, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được giới thiệu tới quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán 12 lần thứ nhất trong năm học 2022 – 2023. Đề thi này được sử dụng trong kỳ thi liên trường THPT trực thuộc Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Nghệ An.
Hy vọng đề thi này sẽ là tài liệu hữu ích để các em học sinh ôn luyện và nâng cao kiến thức, kỹ năng giải toán. Đồng thời, đây cũng là nguồn tham khảo quý báu cho quý thầy cô trong việc soạn giảng và ra đề thi.
Trích dẫn Đề học sinh giỏi Toán 12 lần 1 năm 2022 – 2023 cụm liên trường THPT – Nghệ An
Câu 1 (6,0 điểm).
a) Cho hàm số
$$
y=f(x)=(m+1) \frac{x^3}{3}+\left(m^2-5 m-4\right) \frac{x^2}{2}-\frac{16}{3} \sqrt{(x+1)^3}-\left(3 m^2-6 m-19\right) x+2022 .
$$
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số đồng biến trên nửa khoảng $[-1 ;+\infty)$.
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}(y+1)^2+y \sqrt{y^2+1}=x+\frac{3}{2} \\ x+\sqrt{x^2-2 x+5}=1+2 \sqrt{2 x-4 y+2}\end{array}\right.$
(1) $(x, y \in \mathbb{R})$.
Câu 2 (5,0 điểm).
a) Trong tiết học môn thể dục, giáo viên cho 20 học sinh đứng thành một vòng tròn để truyền đạt kiến thức, sau đó giáo viên gọi ngẫu nhiên bốn học sinh lên làm mẫu. Tính xác suất để trong bốn học sinh được gọi không có hai học sinh đứng cạnh nhau.
b) Một người thợ gò hàn làm một cái thùng đựng nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp bằng tôn. Biết rằng đường chéo hình hộp bằng $6 \mathrm{dm}$ và chỉ được sử dụng vừa đủ $36 \mathrm{dm}^2$ tôn. Tính thể tích lớn nhất của cái thùng.
Câu 3(1,5 điểm).
Cho số thực $x, y, z \in(0 ; 1]$ thỏa mãn $x+y \geq 1+z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x y+z^2}$.
