Đề học sinh giỏi Toán 12 chuyên năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
Kính gửi quý thầy cô và các “thiên tài Toán học” lớp 12,
Hdgmvietnam.org xin được “khuấy động” không khí học tập với một “bất ngờ” đặc biệt – đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 12 THPT chuyên năm học 2023 – 2024 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc. Đây chắc chắn sẽ là một “sân chơi trí tuệ” đầy thử thách và hấp dẫn dành cho các em.
Hãy chuẩn bị “lên dây cót tinh thần” và sẵn sàng “ra trận” với một tâm thế “quyết chiến quyết thắng”. Đây là cơ hội để các em khẳng định “bản lĩnh” và “tài năng” của mình trên “đấu trường” Toán học. Hãy tự tin thể hiện những gì đã học và “vượt qua giới hạn” của chính mình.
Quý thầy cô hãy là “cánh tay đắc lực” của các em trong quá trình ôn luyện. Sự hướng dẫn tận tình và “bí kíp” quý báu của thầy cô sẽ giúp các em “mài giũa” kiến thức và “sắc bén” kỹ năng giải đề.
Hdgmvietnam.org tự hào là “cầu nối” giữa quý vị và “kho tàng” tri thức. Chúng tôi cam kết mang đến những thông tin “nóng hổi” và tài liệu “độc quyền” giúp quý vị có sự chuẩn bị chu đáo nhất cho “thử thách” sắp tới.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh sẽ có một quá trình ôn luyện “máu lửa” và gặt hái “quả ngọt” trong kỳ thi này. Hãy biến những ngày tháng “chinh chiến” trở thành “huy chương” đáng tự hào trên con đường học tập của mình.
Cùng nhau “xông pha” và “làm nên lịch sử”!
Trân trọng,
Hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề học sinh giỏi Toán 12 chuyên năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
Bài 1 (4,0 điểm).
a) Cho hai dãy số $\left(x_n\right),\left(y_n\right), n=1,2, \ldots$ được xác định như sau:
$$
x_1=1, x_2=2, x_{n+2}=(n+1)\left(x_{n+1}+x_n\right), y_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k}, n=1,2, \ldots
$$
Chứng minh rằng dãy số $\left(y_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.
b) Cho $a>2$ là một số thực cho trước và đãy số $\left(u_n\right), n=1,2, \ldots$ được xác định như sau:
$$
u_1=a, u_{n+1}=4-\frac{4}{u_n}, n=1,2, \ldots
$$
Chứng minh rằng dãy số $\left(u_n\right)$ xác định với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 2 (4,0 điểm). Cho $a, b, c, d$ là các số không âm thoả mãn $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1}=3\left(^*\right)$.
a) Chứng minh rằng $a+b+c+d \geq \frac{4}{3}$.
b) Tìm số thực $m$ nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức $3(a b+a c+a d+b c+b d+c d)+\frac{4}{a+b+c+d} \leq m$ đúng với mọi bộ số không âm $(a, b, c, d)$ thỏa mãn điều kiện (*).
