Đề học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2022 – 2023 sở GDKHCN Bạc Liêu
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “cuộc phiêu lưu” trí tuệ đầy hấp dẫn – đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh kết hợp thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2022 – 2023 môn Toán của sở Giáo dục, Khoa học và Công Nghệ tỉnh Bạc Liêu. Đây chắc chắn sẽ là một “hành trình” đầy thử thách và bất ngờ cho những “nhà thám hiểm” đam mê Toán học.
“Cuộc phiêu lưu” này đã chính thức bắt đầu vào ngày 06 tháng 11 năm 2022. Hãy “đóng gói hành trang”, “mang theo la bàn” và sẵn sàng “lên đường” để khám phá những “vùng đất” tri thức mới lạ. Chúng tôi tin rằng, với sự “dũng cảm” và niềm đam mê Toán học, các em sẽ “chinh phục” được những “đỉnh cao” tri thức và gặt hái nhiều “kho báu” trong “cuộc phiêu lưu” này.
Điểm đặc biệt của “cuộc phiêu lưu” này là sự kết hợp giữa việc chọn học sinh giỏi cấp tỉnh và tuyển chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia. Đây sẽ là một “thử thách kép” đầy hấp dẫn, đòi hỏi sự “can đảm” và kỹ năng “thám hiểm” đỉnh cao của các em.
Hãy coi đây như một cơ hội để các em thử sức, khám phá “kho báu” tiềm ẩn trong bản thân và trở thành những “nhà thám hiểm” Toán học đầy bản lĩnh. Chúng tôi tin rằng, đề thi này sẽ là một “cuộc phiêu lưu” bổ ích và lý thú, giúp các em “rèn luyện” kỹ năng và nâng cao trình độ giải Toán.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “tinh thần phiêu lưu”, không ngừng “thám hiểm” và “chinh phục” những chân trời mới trong thế giới Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2022 – 2023 sở GDKHCN Bạc Liêu
Câu 1: (4 điểm)
Cho hàm số $y=\frac{2 x-1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $M$ là điểm bất kì trên $(C)$. Tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ cắt hai đường tiệm cận của $(C)$ tại $A$ và $B$. Gọi $I$ là giao điểm hai đường tiệm cận. Tìm trên $(C)$ tất cả các điểm $M$ sao cho chu vi $I A B$ nhỏ nhất.
Câu 2: (4 điểm)
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2 x y^2-y-\sqrt{y^2+1}+2 x y^2 \sqrt{4 x^2+1}=0 \\ x^3-2 \sqrt{2 x} \sqrt{y}=2 \sqrt[3]{x+6}+2\end{array} \quad ; x . y \in \mathbb{R}\right.$.
Câu 3: (3 điểm)
Cho hai đường tròn $\left(O_1\right),\left(O_2\right)$ cắt nhau tại hai điểm $A, B . X A, A Y$ theo thứ tự là hai đường kính của hai đường tròn đó. $I$ là một điểm thuộc phân giác trong $\widehat{X A Y}$ sao cho $I$ không thuộc hai đường tròn và $O I$ không vuông góc $X Y, O$ là trung điểm của $X Y$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $A I$ cắt $\left(O_1\right),\left(O_2\right)$ lần lượt tại $E, F . I X$ cắt $\left(O_1\right)$ tại $K, I Y$ cắt $\left(O_2\right)$ tại $L$.
a) Gọi $C$ là giao của $F E$ với $X I$. Chứng minh $O E$ tiếp xúc với $(C E K)$.
b) Chứng minh $E K, F L, O I$ đồng quy.
