Đề học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hải Dương
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “chuyến tàu” tri thức hấp dẫn – đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 12 THPT cấp tỉnh năm học 2022 – 2023 của sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hải Dương. Đây chắc chắn sẽ là một “hành trình” đầy thú vị và thử thách cho những “hành khách” đam mê Toán học.
“Chuyến tàu” này đã chính thức “khởi hành” vào ngày 19 tháng 10 năm 2022. Hãy “mua vé”, “xách ba lô” và sẵn sàng cho một “chuyến đi” đầy hứng khởi. Chúng tôi tin rằng, với nỗ lực không ngừng và tình yêu Toán học, các em sẽ có một “hành trình” đáng nhớ, “ghé thăm” được nhiều “vùng đất” tri thức mới mẻ và gặt hái được nhiều thành công.
Hãy coi đây như một cơ hội để các em thử sức, khám phá “điểm đến” tiềm ẩn trong bản thân và trở thành những “hành khách” Toán học đầy bản lĩnh. Chúng tôi tin rằng, đề thi này sẽ là một “chuyến đi” bổ ích và lý thú, giúp các em “rèn luyện” kỹ năng và nâng cao trình độ giải Toán.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “nhiệt huyết của những người lữ hành”, không ngừng “khám phá” và “chinh phục” những chân trời mới trong thế giới Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hải Dương
Câu I. (2,0 điểm)
1) Cho hàm số $y=\frac{2 x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=-2 x+m$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm $A$ và $B$ phân biệt sao cho $A B=\sqrt{5}$.
2) Cho hàm số $y=x^4-2 m x^2+m-1$ có đồ thị $\left(C_m\right)$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để đồ thị $\left(C_m\right)$ có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuông cân.
Câu II. (2,0 điểm)
1) Một nhóm 15 học sinh gồm 6 học sinh lớp $\mathrm{A}, 5$ học sinh lớp $\mathrm{B}, 4$ học sinh lớp C. Lấy ngẫu nhiên 7 học sinh trong nhóm trên. Tính xác suất để 7 học sinh lấy ra có đủ cả 3 lớp và số học sinh lớp $\mathrm{B}$ bằng số học sinh lớp C.
2) Giải phương trình: $\frac{x^3+3 x^2-4 x+1}{x^2+3}=\sqrt{x^2-x+1}$.
Câu III. (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2 y^3+6 y^2+7 y+3+(3-2 x) \sqrt{x-2}=0 \\ y+\sqrt{2 y^2+4 y+3}=3+\sqrt{7-x}\end{array}\right.$.
2) Cho tam giác $A B C$ vuông cân tại $A$ có trọng tâm $G$; gọi $E, H$ lần lượt là trung điểm của $A B, B C$. $D$ là điểm đối xứng với $H$ qua $A, I$ là giao điểm của đường thẳng $A B$ và đường thẳng $C D$. Biết $D(-1 ;-1)$, đường thẳng $I G$ có phương trình $6 x-3 y-7=0$ và điểm $E$ có hoành độ bằng 1 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $A B C$.
