Đề học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Quảng Nam (đợt 1)
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “cuộc phiêu lưu” trí tuệ đầy hấp dẫn – đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THPT năm học 2022 – 2023 của sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Nam (đợt 1). Đây chắc chắn sẽ là một “hành trình” đầy thử thách và bất ngờ cho những “nhà thám hiểm” đam mê Toán học.
“Cuộc phiêu lưu” này đã chính thức bắt đầu vào ngày 07 tháng 10 năm 2022. Hãy “đóng gói hành trang”, “mang theo la bàn” và sẵn sàng “lên đường” để khám phá những “vùng đất” tri thức mới lạ. Chúng tôi tin rằng, với sự “dũng cảm” và niềm đam mê Toán học, các em sẽ “chinh phục” được những “đỉnh cao” tri thức và gặt hái nhiều “kho báu” trong “cuộc phiêu lưu” này.
Hãy coi đây như một cơ hội để các em thử sức, khám phá “kho báu” tiềm ẩn trong bản thân và trở thành những “nhà thám hiểm” Toán học đầy bản lĩnh. Chúng tôi tin rằng, đề thi này sẽ là một “cuộc phiêu lưu” bổ ích và lý thú, giúp các em “rèn luyện” kỹ năng và nâng cao trình độ giải Toán.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “tinh thần phiêu lưu”, không ngừng “thám hiểm” và “chinh phục” những chân trời mới trong thế giới Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Quảng Nam (đợt 1)
Câu 1. (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x^2-y^2+x+y=\sqrt{y-1}-\sqrt{x} \\ 2 x^2-11 y+32=3 \cdot \sqrt[3]{4 y-8}\end{array} \quad(x, y \in \mathbb{R})\right.$.
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định như sau: $\left\{\begin{array}{l}u_1=2023 \\ u_{n+1}=\frac{2022 u_n^3+2022 u_n}{2022 u_n^2-u_n+2022}, \forall n \in \mathbb{N}^*\end{array}\right.$. Tính $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{2 n+1} \sum_{i=1}^n \frac{u_i^2}{1+u_i^2}$.
Câu 3. (5,0 điểm)
Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $A, B$ cố định nằm trên đường tròn $(O)$ sao cho ba điểm $O, A, B$ không thẳng hàng. Xét một điểm $C$ trên đường tròn $(O)$ sao cho tam giác $A B C$ không cân tại $C$. Gọi $\left(O_1\right)$ là đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc với $B C$ tại $C ;\left(O_2\right)$ là đường tròn đi qua $B$ và tiếp xúc với $A C$ tại $C$. Hai đường tròn $\left(O_1\right)$ và $\left(O_2\right)$ cắt nhau tại điểm thứ hai là $D(D$ khác $C)$.
a) Tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $C$ cắt đường thẳng $O D$ tại $S$. Chứng minh $O A$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $A D S$.
b) Chứng minh đường thẳng $C D$ luôn đi qua một điểm cố định khi điểm $C$ di động trên đường tròn $(O)$ (tam giác $A B C$ không cân tại $C$ ).
