Đề học sinh giỏi tỉnh Toán THPT & GDTX năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Đắk Lắk
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “chuyến tàu” tri thức hấp dẫn – đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THPT & GDTX năm học 2022 – 2023 của sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đắk Lắk. Đây chắc chắn sẽ là một “hành trình” đầy thú vị và thử thách cho những “hành khách” đam mê Toán học.
“Tuyến đường” của chuyến tàu này sẽ đưa các em đến những “ga” tri thức đa dạng, với các câu hỏi và bài toán phong phú. Các em sẽ có cơ hội “khám phá” và thể hiện tài năng cũng như sự sáng tạo của mình trong suốt “hành trình” này.
“Chuyến tàu” sẽ chính thức “khởi hành” vào thứ Tư, ngày 15 tháng 03 năm 2023. Hãy “mua vé”, “xách ba lô” và sẵn sàng cho một “chuyến đi” đầy hứng khởi. Chúng tôi tin rằng, với nỗ lực không ngừng và tình yêu Toán học, các em sẽ “đến đích” với những thành tích ấn tượng và gặt hái nhiều thành công trên hành trình chinh phục tri thức.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “nhiệt huyết của những người lữ hành”, không ngừng “khám phá” và “chinh phục” những chân trời mới trong thế giới Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề học sinh giỏi tỉnh Toán THPT & GDTX năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Đắk Lắk
Câu 1. (4,0 điểm) Cho hàm số $y=f(x)=x^3-3 x^2+m x+1$ có đồ thị $\left(C_m\right)$ với $m$ là tham số.
1) Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để đồ thị $\left(C_{\mathrm{m}}\right)$ có hai điểm cực trị.
2) Khi $\left(C_m\right)$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$, tìm $m$ để khoảng cách từ điểm $I\left(\frac{1}{2} ; \frac{11}{4}\right)$ đến đường thẳng $A B$ lớn nhất.
Câu 2. (6,0 điểm)
1) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình $m \cdot 9^x-(2 m+1) \cdot 6^x+m \cdot 4^x \leq 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in(0 ; 1)$.
2) Cho hàm số $y=f(x)=a x^3+x^2+c x+d$ với $a \neq 0$ có đồ thị là $(C)$ và parabol $(P): y=g(x)=m x^2+p$. Biết $(C)$ cắt $(P)$ tại ba điểm $A, B, C$ có hoành độ lần lượt là $-1 ; 1 ; 2$ thỏa mãn $A C=\sqrt{18}$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và $(P)$.
3) Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Gọi $S$ là tập hợp các đường thẳng đi qua 2 đỉnh bất kỳ của đa giác. Chọn ngẫu nhiên hai đường thẳng từ tập $S$. Tìm xác suất để chọn được hai đường thẳng có giao điểm nằm trong đường tròn $(O)$.
Câu 3. ( 4,0 điểm) Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông tâm $O$, $S A=A B=a, S B=S D$. Lấy $M$ là điểm tùy ý trên đoạn thẳng $O A(M$ khác $O$ và $A)$. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$, song song với $S A$ và $B D$, cắt $A B, S B, S D, A D$ lần lượt tại $E, F, G, H$.
1) Tứ giác $E F G H$ là hình gì? Vì sao?
2) Xác định vị trí của $M$ để diện tích tứ giác $E F G H$ đạt giá trị lớn nhất.
